Геодезическая линия является обобщением прямой линии на искривлённой многообразной поверхности или пространстве. В релятивистской физике геодезические играют фундаментальную роль, поскольку они описывают траектории свободных частиц и света в искривлённом пространстве-времени, то есть движения, на которые не действуют внешние силы, кроме гравитационного искривления.
Геодезическая определяется как кривая, экстремизирующая интервал:
δ∫ds = 0,
где ds — инфинитезимальный элемент длины или интервала пространства-времени, который в метрике gμν имеет вид
ds2 = gμνdxμdxν.
Это условие экстремума приводит к уравнениям геодезических, которые в координатной форме записываются как
$$ \frac{d^2 x^\lambda}{d \tau^2} + \Gamma^\lambda_{\mu\nu} \frac{dx^\mu}{d\tau} \frac{dx^\nu}{d\tau} = 0, $$
где τ — аффинный параметр вдоль кривой (для частиц с массой — собственное время), а Γμνλ — символы Кристоффеля, определяемые через метрику:
$$ \Gamma^\lambda_{\mu\nu} = \frac{1}{2} g^{\lambda\sigma} \left( \partial_\mu g_{\sigma\nu} + \partial_\nu g_{\sigma\mu} - \partial_\sigma g_{\mu\nu} \right). $$
Локальная прямолинейность: Геодезическая в локальной инерциальной системе координат является прямой линией. Это отражает принцип эквивалентности Эйнштейна: в малых масштабах гравитация “исчезает”, и движение частицы выглядит свободным.
Симметрия и сохранение величин: Если метрика обладает симметриями (например, временная или осевая инвариантность), то возникают соответствующие интегралы движения. Например, при временной симметрии сохраняется энергия, при осевой — компонент углового момента.
Различие для частиц с массой и света: Для частиц с массой геодезическая является тимеподобной (ds2 > 0), для фотонов — нулевой геодезической (ds2 = 0).
Наиболее часто рассматриваемая метрика в релятивистской физике — это сферически симметричная метрика Шварцшильда:
$$ ds^2 = \left(1 - \frac{2GM}{c^2 r}\right)c^2 dt^2 - \left(1 - \frac{2GM}{c^2 r}\right)^{-1} dr^2 - r^2 (d\theta^2 + \sin^2\theta\, d\phi^2). $$
Используя симметрию, движение частицы можно ограничить плоскостью θ = π/2. Тогда уравнения геодезических сводятся к:
$$ \left( \frac{dr}{d\tau} \right)^2 = E^2 - \left( 1 - \frac{2GM}{c^2 r} \right) \left( c^2 + \frac{L^2}{r^2} \right), $$
$$ \frac{d\phi}{d\tau} = \frac{L}{r^2}, \quad \frac{dt}{d\tau} = \frac{E}{1 - 2GM/(c^2 r)}, $$
где E и L — интегралы движения, соответствующие энергии и угловому моменту частицы. Для фотонов c2 → 0 в уравнении и геодезическая становится нулевой.
Метод лагранжевой механики применим к геодезическим. Вводят лагранжиан:
$$ \mathcal{L} = g_{\mu\nu} \frac{dx^\mu}{d\tau} \frac{dx^\nu}{d\tau}. $$
Уравнения Эйлера — Лагранжа:
$$ \frac{d}{d\tau} \left( \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{x}^\lambda} \right) - \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x^\lambda} = 0 $$
получают точно уравнения геодезических. Этот подход особенно удобен при наличии симметрий метрики, позволяя легко выделять константы движения.
Орбиты планет и прецессия Меркурия: Малое отклонение орбитальной геодезической от классической эллиптической линии приводит к известной релятивистской прецессии перигелия.
Гравитационное линзирование: Луч света искривляется при прохождении вблизи массивного тела, описывается нулевыми геодезическими. Угол отклонения света Δϕ ≈ 4GM/(c2b), где b — параметр сближения.
Чёрные дыры и горизонты событий: Геодезические показывают поведение частиц и фотонов около горизонта событий. Для частицы с массой существует минимальный радиус устойчивой орбиты (r = 3rs для фотонов, rs = 2GM/c2).
Геодезическая чувствительна к кривизне пространства-времени, которая описывается тензором Римана R σμνρ. Отклонение двух соседних геодезических определяется уравнением геодезического отклонения:
$$ \frac{D^2 \xi^\mu}{D\tau^2} = R^\mu_{\ \nu\rho\sigma} u^\nu u^\rho \xi^\sigma, $$
где ξμ — вектор, соединяющий соседние геодезические, uν = dxν/dτ. Это уравнение показывает, как гравитационные приливные силы деформируют облака частиц, движущихся свободно.
Геодезические линии — центральный инструмент релятивистской физики для описания динамики частиц и света. Они напрямую связывают свойства метрики и кривизны с наблюдаемым движением объектов, позволяя прогнозировать явления от прецессии планет до искривления световых лучей и поведения вокруг черных дыр. Уравнения геодезических, уравнение геодезического отклонения и методы их решения формируют основу практического применения Общей Теории Относительности.