В релятивистской физике электромагнитные явления описываются с использованием четырехмерной формы пространства-времени, что позволяет строго учитывать преобразования Лоренца. Основной объект, характеризующий электромагнитное поле, — это тензор электромагнитного поля Fμν, который объединяет электрическое и магнитное поля в единый математический объект:
$$ F^{\mu\nu} = \begin{pmatrix} 0 & -E_x/c & -E_y/c & -E_z/c \\ E_x/c & 0 & -B_z & B_y \\ E_y/c & B_z & 0 & -B_x \\ E_z/c & -B_y & B_x & 0 \end{pmatrix}. $$
Здесь c — скорость света в вакууме, а индексы μ, ν = 0, 1, 2, 3 соответствуют времени и пространственным координатам. Ключевой особенностью тензора Fμν является его антисимметрия: Fμν = −Fνμ.
Эта форма записи делает явным, что электрическое и магнитное поля зависят от выбора системы отсчета, но тензор как объект в пространстве-времени преобразуется согласно законам Лоренца.
Если рассматривать две инерциальные системы отсчета S и S′, движущиеся относительно друг друга со скоростью v вдоль оси x, компоненты поля в этих системах связаны через преобразование Лоренца:
$$ \begin{aligned} E_x' &= E_x, \\ E_y' &= \gamma (E_y - v B_z), \\ E_z' &= \gamma (E_z + v B_y), \\ B_x' &= B_x, \\ B_y' &= \gamma \left(B_y + \frac{v}{c^2} E_z\right), \\ B_z' &= \gamma \left(B_z - \frac{v}{c^2} E_y\right), \end{aligned} $$
где $\gamma = \frac{1}{\sqrt{1-v^2/c^2}}$ — фактор Лоренца. Эти выражения демонстрируют неотделимость электрического и магнитного компонентов при переходе между движущимися системами отсчета.
Хотя компоненты E и B зависят от системы отсчета, существуют скаляры, остающиеся неизменными при преобразованиях Лоренца. Основные инварианты:
$$ I_1 = F_{\mu\nu} F^{\mu\nu} = 2 \left( \frac{E^2}{c^2} - B^2 \right) $$
$$ I_2 = \epsilon^{\mu\nu\alpha\beta} F_{\mu\nu} F_{\alpha\beta} = -\frac{8}{c} \mathbf{E} \cdot \mathbf{B} $$
Эти величины не зависят от выбора инерциальной системы отсчета, что делает их фундаментальными характеристиками поля. В частности, I1 > 0 соответствует преобладанию электрического поля, I1 < 0 — магнитного, а I2 ≠ 0 указывает на присутствие взаимной ориентации E и B.
Для упрощения анализа релятивистских эффектов вводится четырехпотенциал Aμ = (φ/c, A), где φ — скалярный потенциал, а A — векторный. Тензор электромагнитного поля выражается через четырехпотенциал как:
Fμν = ∂μAν − ∂νAμ
Уравнения Максвелла в вакууме приобретают компактную форму:
∂νFμν = μ0Jμ, ∂λFμν + ∂μFνλ + ∂νFλμ = 0
где Jμ = (cρ, J) — четырехток заряда, ρ — плотность заряда, J — плотность тока. Первая формула отражает динамику поля под действием источников, вторая — геометрические ограничения, вытекающие из определения тензора через потенциал.
Эта форма уравнений демонстрирует полную релятивистскую ковариантность: законы электродинамики одинаковы во всех инерциальных системах отсчета.
Электрические и магнитные поля не являются инвариантными по отдельности, но комбинации, которые формируют энергию и импульс поля, обладают определённой инвариантной структурой. Энергетический и импульсный тензоры поля, определяемые как:
$$ T^{\mu\nu} = F^{\mu\alpha} F^\nu_{\ \alpha} - \frac{1}{4} \eta^{\mu\nu} F_{\alpha\beta} F^{\alpha\beta} $$
гарантируют, что энергия, импульс и поток электромагнитного поля корректно преобразуются при переходе между системами отсчета, сохраняя локальные законы сохранения:
∂νTμν = −FμνJν
Это выражение связывает изменения энергии и импульса поля с действием зарядов и токов.
Таким образом, инвариантность электромагнитных явлений обеспечивает универсальность законов физики и лежит в основе всех релятивистских расчетов, начиная от движения зарядов в магнитных полях до анализа излучения синхротронного типа и взаимодействий элементарных частиц.