Калибровочная инвариантность в ОТО

Понятие калибровочной инвариантности

Калибровочная инвариантность (или калибровочная симметрия) — это фундаментальное свойство физических теорий, означающее, что физические законы остаются неизменными при локальных преобразованиях определённых полей. В контексте Общей Теории Относительности (ОТО) это свойство проявляется как инвариантность уравнений Эйнштейна относительно локальных преобразований координат и локальных вращений метрического тензора.

Ключевой аспект здесь заключается в том, что метрика g_μν(x) не является физически наблюдаемой величиной сама по себе; наблюдаются только инварианты, построенные из неё, например, скаляр кривизны R, геодезические расстояния и кривизна пространства-времени. Любое преобразование метрики, которое оставляет эти инварианты неизменными, не изменяет физику, что и является проявлением калибровочной симметрии в ОТО.

---

Локальная и глобальная симметрия

Глобальная симметрия в ОТО соответствует преобразованиям координат, которые одинаковы во всех точках пространства-времени. Например, трансляции и вращения в плоском пространстве Минковского.

Локальная (диффеоморфная) симметрия — это более общая концепция, характерная именно для ОТО:

x^μ → x′^μ = f^μ(x)

где f^μ(x) — произвольные дифференцируемые функции координат. При таких преобразованиях метрика трансформируется по правилу тензора второго ранга:

$$ g'_{\mu\nu}(x') = \frac{\partial x^\alpha}{\partial x'^\mu} \frac{\partial x^\beta}{\partial x'^\nu} g_{\alpha\beta}(x) $$

Физическая калибровочная инвариантность заключается в том, что уравнения Эйнштейна остаются верными в любой системе координат. Это эквивалентно принципу общей ковариантности.

---

Связь с принципом эквивалентности

Принцип эквивалентности утверждает, что в малой окрестности каждой точки можно выбрать локальную инерциальную систему, в которой законы специальной теории относительности выполняются.

С точки зрения калибровочной инвариантности, это означает:

• Возможность локально «обнулить» гравитационное поле за счёт выбора подходящей локальной системы координат.
• Кривизна пространства-времени, описываемая тензором Римана R _σμν^ρ, остаётся инвариантной при локальных преобразованиях координат.

Таким образом, локальная симметрия и принцип эквивалентности тесно связаны: первая обеспечивает математическую формулировку второй.

---

Тензорные объекты и калибровочная свобода

В ОТО важными калибровочно-инвариантными объектами являются:

1. Тензор Римана R _σμν^ρ Полностью описывает кривизну пространства-времени и остаётся инвариантным при любых диффеоморфизмах.

2. Тензор Эйнштейна $G_{\mu\nu} = R_{\mu\nu} - \frac{1}{2} R g_{\mu\nu}$ Используется в уравнениях Эйнштейна. Его дивергенция равна нулю: ∇^μG_μν = 0, что отражает локальную калибровочную инвариантность.

3. Скаляр кривизны R Инвариант относительно любых непрерывных преобразований координат.

Эти объекты демонстрируют, что физическая информация скрыта в инвариантах, а не в компонентах метрики, которые зависят от выбора координат.

---

Калибровочная инвариантность и лагранжиан

Лагранжиан ОТО имеет вид:

$$ \mathcal{L} = \frac{c^4}{16\pi G} \sqrt{-g} R + \mathcal{L}_\text{материя} $$

где g = det (g_μν), R — скаляр кривизны, ℒ_{материя} — лагранжиан материи.

Ключевые моменты:

• Лагранжиан ОТО инвариантен относительно диффеоморфизмов, что обеспечивает калибровочную симметрию.
• Связь с вариационным принципом: изменение лагранжиана при локальных преобразованиях координат сводится к полному дифференциалу, что не влияет на уравнения движения.
• Через Noether теорему диффеоморфная симметрия связана с сохранением тензора энергии-импульса.

---

Аналогии с другими калибровочными теориями

Хотя ОТО формально отличается от электродинамики или теории калибровочных полей, есть глубокие аналогии:

• В электродинамике калибровочная трансформация векторного потенциала A_μ → A_μ + ∂_μΛ(x) не меняет физическое поле F_μν.
• В ОТО диффеоморфизм метрики g_μν(x) → g′_μν(x′) не меняет физическую кривизну, аналогично F_μν.

Эти аналогии стали основой для современной концепции гравитации как калибровочного поля, где локальная группа симметрии связана с локальными преобразованиями Лоренца в касательном пространстве.

---

Практические последствия калибровочной инвариантности

1. Произвольность выбора координат Уравнения ОТО могут быть решены в любой системе координат, что даёт свободу выбора удобных для задачи метрик (например, координаты Шварцшильда, Фридмана, Керра).

2. Наличие лагранжиана и вариационного принципа Калибровочная симметрия обеспечивает корректность применения вариационного принципа к гравитационному полю и материи.

3. Сохранение физических инвариантов Несмотря на свободу выбора координат, физические наблюдаемые (геодезические, кривизна, энергия-импульс) остаются неизменными.

4. Связь с квантовой теорией поля Калибровочная инвариантность ОТО является базой для попыток построения квантовой теории гравитации через понятия калибровочных полей и локальных симметрий.

---

Заключение по сути темы

Калибровочная инвариантность в ОТО — это не просто математическая особенность, а фундаментальная физическая концепция, обеспечивающая свободу локального выбора координат, сохранение физических инвариантов и соответствие принципу эквивалентности. Понимание этой симметрии лежит в основе всех современных подходов к гравитации, включая лагранжеву и гамильтонову формулировки, а также попытки объединения с калибровочными теориями поля.