Космологические решения Фридмана-Леметра-Робертсона-Уокера

Основой космологических моделей в рамках общей теории относительности является предположение о гомогенности и изотропности Вселенной на больших масштабах. Эти свойства позволяют использовать метрику Фридмана-Леметра-Робертсона-Уокера (ФЛRW), которая в общем виде записывается как:

$$ ds^2 = c^2 dt^2 - a^2(t) \left[ \frac{dr^2}{1 - k r^2} + r^2 (d\theta^2 + \sin^2 \theta \, d\phi^2) \right], $$

где a(t) — масштабный фактор, определяющий расширение или сжатие пространства, а k — параметр кривизны, принимающий значения 0 (плоская Вселенная), +1 (сфера) или −1 (гиперболоид).

Ключевой момент: Метрика ФЛRW задает геометрию пространства-времени, совместимую с принципом космологической однородности и изотропности.

Энергетический тензор идеальной жидкости

Для описания материи во Вселенной удобно использовать тензор энергии-импульса идеальной жидкости:

$$ T_{\mu\nu} = (\rho + \frac{p}{c^2}) u_\mu u_\nu - p g_{\mu\nu}, $$

где ρ — плотность энергии, p — давление, uμ — 4-скорость жидкости. Для космологической модели предполагается, что жидкость покоится в системе отсчета, связанной с комовским наблюдателем: uμ = (1, 0, 0, 0).

Ключевой момент: Использование идеальной жидкости позволяет свести сложное распределение материи к удобной форме для решения уравнений Эйнштейна.

Уравнения Фридмана

Подставляя метрику ФЛRW и тензор энергии-импульса в уравнения Эйнштейна

$$ G_{\mu\nu} + \Lambda g_{\mu\nu} = \frac{8\pi G}{c^4} T_{\mu\nu}, $$

получаем два независимых уравнения для масштабного фактора a(t):

  1. Первое уравнение Фридмана (энергетическое):

$$ \left(\frac{\dot a}{a}\right)^2 + \frac{k c^2}{a^2} = \frac{8 \pi G}{3} \rho + \frac{\Lambda c^2}{3}. $$

  1. Второе уравнение Фридмана (динамическое):

$$ \frac{\ddot a}{a} = -\frac{4\pi G}{3} \left(\rho + \frac{3p}{c^2}\right) + \frac{\Lambda c^2}{3}. $$

Ключевой момент: Первое уравнение определяет скорость расширения Вселенной, второе — ускорение или замедление этого расширения.

Уравнение состояния вещества

Для замкнутой системы необходимо определить соотношение между давлением и плотностью. Наиболее часто используют:

p = wρc2,

где w — параметр уравнения состояния:

  • w = 0 — давление отсутствует (вещество, «dust»),
  • $w = \frac{1}{3}$ — радиация,
  • w = −1 — космологическая постоянная, эквивалентная темной энергии.

Подстановка этого уравнения в уравнения Фридмана позволяет получить зависимость ρ(a) от масштабного фактора:

ρ(a) ∝ a−3(1 + w).

Ключевой момент: Эволюция плотности энергии строго связана с типом вещества и давлением в Вселенной.

Решения для различных случаев

1. Вселенная, заполненная веществом (w = 0)

a(t) ∝ t2/3,  ρ ∝ a−3.

Это решение соответствует классической модели расширяющейся Вселенной без давления.

2. Вселенная, доминируемая радиацией (w = 1/3)

a(t) ∝ t1/2,  ρ ∝ a−4.

Радиоактивная среда приводит к более быстрому уменьшению плотности энергии при расширении.

3. Вселенная с космологической постоянной (w = −1)

$$ a(t) \propto e^{Ht}, \quad H = \sqrt{\frac{\Lambda c^2}{3}}. $$

Такое решение описывает экспоненциальное ускоренное расширение, характерное для инфляционной или темновой энергийной эпохи.

Плоская, открытая и закрытая Вселенная

  • Плоская (k = 0): расширение бесконечно, скорость убывает при наличии материи, ускоряется при Λ > 0.
  • Закрытая (k = +1): возможен фазовый сценарий с замедлением, остановкой и сжатием в «Большой сжатии».
  • Открытая (k = −1): расширение продолжается всегда, скорость замедляется медленнее, чем в плоской Вселенной.

Ключевой момент: Геометрия пространства задает общую траекторию эволюции масштабного фактора, влияя на будущее и прошлое Вселенной.

Критическая плотность

Важным понятием является критическая плотность ρc, определяющая плоскую геометрию:

$$ \rho_c = \frac{3 H^2}{8 \pi G}. $$

Отношение Ω = ρ/ρc классифицирует Вселенную:

  • Ω = 1 — плоская,
  • Ω > 1 — закрытая,
  • Ω < 1 — открытая.

Влияние космологической постоянной

Λ добавляет дополнительный репульсивный эффект, который может компенсировать гравитационное притяжение материи. Уравнения Фридмана с Λ позволяют моделировать:

  • ускоренное расширение современной Вселенной,
  • фазу инфляции в ранней Вселенной.

Ключевой момент: Космологическая постоянная позволяет совместить наблюдаемое ускоренное расширение с теоретической моделью ФЛRW.

Оглавление