Квантовая теория поля в искривленном пространстве

Квантовая теория поля (КТП) в искривленном пространстве является обобщением стандартной квантовой теории поля, развитой на плоском пространстве Минковского, на случаи, когда фоновой метрикой является произвольное искривленное пространство-время. Этот подход позволяет исследовать квантовые эффекты вблизи массивных гравитационных объектов, таких как черные дыры, или в условиях ранней Вселенной.

1. Фоновые геометрии и поле

В КТП на искривленном пространстве поле определяется на многообразии с метрикой g_μν(x). Классический лагранжиан скалярного поля ϕ(x) имеет вид:

$$ \mathcal{L} = \frac{1}{2} g^{\mu\nu} \nabla_\mu \phi \nabla_\nu \phi - \frac{1}{2} m^2 \phi^2 - \frac{\xi}{2} R \phi^2, $$

где ∇_μ — ковариантная производная, R — скалярная кривизна, а ξ — параметр связи с кривизной (например, ξ = 1/6 соответствует конформно-инвариантной связи для массы ноль).

Ключевой момент: добавление члена ξRϕ² принципиально отличает динамику поля в искривленном пространстве от плоского случая и играет важную роль в эффектах, связанных с гравитационным полем.

2. Квантование поля

Квантование скалярного поля проводится по стандартной схеме, но с учетом особенностей кривой геометрии. Оператор поля раскладывается по модам:

ϕ̂(x) = ∑_i[â_iu_i(x) + â_i^†u_i^*(x)],

где u_i(x) — решение уравнения Клейна–Гордона:

(□_g + m² + ξR)u_i(x) = 0,

□_g = g^μν∇_μ∇_ν — д’Аламберов оператор в кривом пространстве.

Ключевой момент: В отличие от плоского пространства, выбор базиса мод u_i(x) не единственен, что приводит к неединственности понятия вакуума. Это фундаментально связано с эффектами, такими как излучение Хокинга или эффект Unruh.

3. Вакуум и частицы

Определение вакуума в искривленном пространстве зависит от выбора мод. Пусть есть два набора мод u_i(x) и ũ_i(x), связанные через преобразование Боголиюбова:

ũ_i = ∑_j(α_iju_j + β_iju_j^*).

Тогда операторы рождения и уничтожения связаны аналогично:

$$ \hat{\tilde{a}}_i = \sum_j (\alpha_{ij}^* \hat{a}_j - \beta_{ij}^* \hat{a}_j^\dagger). $$

Следствие: вакуум, определенный через â_i|0⟩ = 0, не совпадает с вакуумом $|\tilde{0}\rangle$, определяемым через $\hat{\tilde{a}}_i |\tilde{0}\rangle = 0$. Именно это лежит в основе эффекта создания частиц в динамических или нестационарных фонах.

4. Эффект Хокинга

Рассмотрим черную дыру Шварцшильда с метрикой:

$$ ds^2 = -\left(1 - \frac{2GM}{r}\right) dt^2 + \left(1 - \frac{2GM}{r}\right)^{-1} dr^2 + r^2 d\Omega^2. $$

Квантование поля вблизи горизонта приводит к предсказанию излучения с температурой:

$$ T_H = \frac{\hbar c^3}{8 \pi G M k_B}, $$

где M — масса черной дыры. Это явление возникает из-за того, что естественные моды на бесконечности (внешний наблюдатель) отличаются от мод, естественных для свободного падения к горизонту (инерциальный наблюдатель).

Ключевой момент: эффект Хокинга показывает, что гравитация может приводить к реальному созданию частиц из вакуума.

5. Эффект Unruh

Аналогично, наблюдатель с постоянным ускорением a в плоском пространстве Минковского видит тепловое излучение с температурой:

$$ T_U = \frac{\hbar a}{2 \pi c k_B}. $$

Это связано с неединственностью разделения мод на “положительные частоты” для различных классов наблюдателей.

Ключевой момент: эффект Unruh демонстрирует фундаментальную связь между наблюдателем, геометрией пространства-времени и квантовой природой поля.

6. Стрес–энергетический тензор

Квантовый стрес–энергетический тензор ⟨T_μν⟩ требует регуляризации, так как его наивная оценка дает бесконечности. Основные методы:

Регуляризация по точке разделения: оценка ⟨0|ϕ(x)ϕ(x′)|0⟩ при x → x′ с последующим удалением сингулярной части.
Метод АдС/СГ: использование кривизны и геометрических инвариантов для построения конечного выражения.

Ключевой момент: ⟨T_μν⟩ влияет на динамику пространства-времени через уравнения Эйнштейна с квантовыми поправками, что лежит в основе изучения квантовой гравитации и предсказаний о ранней Вселенной.

7. Применения в космологии

Квантовая теория поля в расширяющейся Вселенной (например, FLRW метрика) позволяет изучать:

Создание частиц во время инфляции, формирование флуктуаций поля и последующее образование структуры Вселенной.
Квантовые флуктуации метрики, которые становятся источником анизотропий микроволнового фонового излучения (CMB).

Ключевой момент: в динамическом фонде наблюдается нестационарное создание частиц, которое напрямую связано с наблюдаемой космологической структурой.

8. Законы сохранения и аномалии

В искривленном пространстве законы сохранения энергии и импульса принимают вид ковариантного тождественного закона:

∇_μT^μν = 0.

Квантовые эффекты могут приводить к аномалиям, например, конформной аномалии, когда классически трейс тензора энергии-н-импульса исчезает, а после квантования:

⟨T_μ^μ⟩ ≠ 0.

Ключевой момент: аномалии влияют на эволюцию поля и могут быть источником энергии, как в случае эффектов, связанных с черными дырами или ранней Вселенной.