Линеаризованная теория гравитации

Линеаризованная теория гравитации представляет собой приближение общей теории относительности (ОТО), применяемое в случае слабого гравитационного поля. В этом подходе предполагается, что метрика пространства-времени g_μν может быть представлена как малое отклонение h_μν от метрики Минковского η_μν:

g_μν = η_μν + h_μν, |h_μν| ≪ 1

где η_μν = diag(−1, 1, 1, 1) — плоская метрика пространства Минковского. Введение такого разложения позволяет линеаризовать уравнения Эйнштейна по малой величине h_μν.

Линеаризация тензора Эйнштейна

В общей теории относительности уравнения Эйнштейна имеют вид:

G_μν = 8πGT_μν,

где $G_{\mu\nu} = R_{\mu\nu} - \frac{1}{2} g_{\mu\nu} R$ — тензор Эйнштейна, T_μν — тензор энергии-импульса. Подставляя g_μν = η_μν + h_μν и оставляя только члены первого порядка по h_μν, получаем линеаризованный тензор Эйнштейна:

$$ G_{\mu\nu}^{(1)} = \frac{1}{2} \Big( \partial_\sigma \partial_\mu h^\sigma_\nu + \partial_\sigma \partial_\nu h^\sigma_\mu - \Box h_{\mu\nu} - \partial_\mu \partial_\nu h - \eta_{\mu\nu} (\partial_\alpha \partial_\beta h^{\alpha\beta} - \Box h) \Big), $$

где □ = η^αβ∂_α∂_β — оператор d’Alembert в плоском пространстве, h = η^μνh_μν — след малой метрики.

Выбор калибровки: калибровка Лоренца

Для упрощения уравнений удобно ввести каноническое преобразование калибровки, аналогичное электродинамике. Определим дефинированный тензор:

$$ \bar{h}_{\mu\nu} = h_{\mu\nu} - \frac{1}{2} \eta_{\mu\nu} h $$

и выберем калибровку Лоренца (harmonic gauge):

∂^μh̄_μν = 0

В этом случае линеаризованные уравнения Эйнштейна упрощаются до формы волнового уравнения:

□h̄_μν = −16πGT_μν.

Это показывает, что малые возмущения метрики распространяются как волны в плоском пространстве-времени с источником в виде тензора энергии-импульса.

Волновые решения и гравитационные волны

Для области вне источников (T_μν = 0) уравнения принимают вид:

□h̄_μν = 0.

Это стандартное волновое уравнение, имеющее решения в виде плоских волн:

h̄_μν = A_μνe^{ik_αx^α} + c.c.,

где k_αk^α = 0, что означает, что гравитационные волны распространяются со скоростью света c. Амплитуда A_μν подчиняется условиям калибровки и трансверсальности:

k^μA_μν = 0.

Количество физических степеней свободы соответствует двум поляризациям гравитационных волн, что отражает их тензорный характер.

Связь с ньютоновской гравитацией

В слабополевом статическом пределе (v ≪ c) линеаризованная теория позволяет восстановить потенциал Ньютона. Из компонент h̄₀₀ и тензора Эйнштейна следует:

Δh̄₀₀ = −16πGρ ⇒ h̄₀₀ = 4Φ,

где Φ — ньютоновский гравитационный потенциал, а ρ — плотность массы. Таким образом, теория корректно воспроизводит ньютоновскую гравитацию в слабополевом пределе.

Энергия и импульс гравитационных волн

Линеаризация также позволяет ввести тензор энергии-импульса гравитационного поля t_μν, который удовлетворяет локальному закону сохранения:

∂^ν(T_μν + t_μν) = 0.

Для плоской волны в направлении z с амплитудой h средняя энергия на единицу объема выражается как:

$$ \langle t_{00} \rangle = \frac{c^2}{32 \pi G} \langle \dot{h}_{ij} \dot{h}^{ij} \rangle. $$

Это ключевой результат для расчёта излучения гравитационных волн астрофизическими объектами.

Ограничения и применимость

Линеаризованная теория корректна, когда выполняются условия:

|h_μν| ≪ 1 — возмущения метрики малы.
Плотность энергии источника низкая, чтобы не создавать сильное искривление.
Расстояния большие по сравнению с характерным радиусом кривизны источника, чтобы использовать плоский фон.

При нарушении этих условий необходимо использовать полную нелинейную ОТО.

Линеаризация ОТО позволяет аналитически изучать гравитационные волны, излучение массивных тел, взаимодействие слабых полей и приближенно моделировать динамику систем в астрофизике, оставаясь при этом полностью согласованной с принципами релятивистской физики.