Метрика Райсснера-Нордстрема для заряженной черной дыры

Основные положения

Метрика Рейсснера-Нордстрема описывает статическое, сферически симметричное гравитационное поле, создаваемое невращающейся черной дырой с электрическим зарядом. Это обобщение метрики Шварцшильда с включением электромагнитного поля. Учет заряда существенно меняет геометрию пространства-времени и структуру горизонтов.

Метрика задается в стандартных сферических координатах (t, r, θ, ϕ) и имеет вид:

ds2 = −f(r) dt2 + f(r)−1 dr2 + r2 dθ2 + r2sin2θ dϕ2,

где

$$ f(r) = 1 - \frac{2GM}{c^2 r} + \frac{G Q^2}{4 \pi \varepsilon_0 c^4 r^2}. $$

Здесь:

  • M — масса черной дыры,
  • Q — электрический заряд,
  • G — гравитационная постоянная,
  • c — скорость света,
  • ε0 — электрическая постоянная.

Электромагнитное поле

Для статической, сферически симметричной черной дыры электрическое поле имеет чисто радиальный вид:

$$ F_{tr} = \frac{Q}{4 \pi \varepsilon_0 r^2}. $$

Тензор электромагнитного поля Fμν для данной симметрии содержит только одну ненулевую компоненту Ftr и антисимметричную Frt = −Ftr.

Горизонты и структура пространства-времени

Горизонты находятся из условия f(r) = 0, что приводит к квадратному уравнению:

$$ r^2 - \frac{2GM}{c^2} r + \frac{G Q^2}{4 \pi \varepsilon_0 c^4} = 0. $$

Корни:

$$ r_\pm = \frac{GM}{c^2} \pm \sqrt{\left(\frac{GM}{c^2}\right)^2 - \frac{G Q^2}{4 \pi \varepsilon_0 c^4}}. $$

  • r+ — внешний (событийный) горизонт,
  • r− — внутренний (Cauchy) горизонт.

Случай Q = 0 восстанавливает метрику Шварцшильда с одним горизонтом rs = 2GM/c2. Если Q2 > 4πε0G−1(GM/c2)2, горизонты исчезают, и черная дыра становится голой сингулярностью, что нарушает гипотезу космической цензуры.

Сингулярности

  • Физическая сингулярность: r = 0. Кривизна тензора Римана стремится к бесконечности.
  • Координатные сингулярности: r = r±. Убираются переходом к подходящим координатам (например, координатам Эддингтона–Финкеля или Крускала).

Поведение кривизны

Скаляр Кретча-Монда-Вейцзекера:

$$ R_{\mu\nu\rho\sigma} R^{\mu\nu\rho\sigma} = \frac{48 G^2 M^2}{c^4 r^6} - \frac{96 G^2 MQ^2}{4 \pi \varepsilon_0 c^8 r^7} + \frac{56 G^2 Q^4}{(4 \pi \varepsilon_0)^2 c^8 r^8}. $$

Он демонстрирует сильную кривизну при r → 0 и относительное ослабление кривизны при удалении от черной дыры.

Энергетические соотношения

Энергия электрического поля черной дыры:

$$ E_{\text{el}} = \frac{1}{8 \pi \varepsilon_0} \int_{r_+}^{\infty} \frac{Q^2}{r^4} \, 4 \pi r^2 dr = \frac{Q^2}{8 \pi \varepsilon_0 r_+}. $$

Таким образом, полный гравитационный потенциал черной дыры включает вклад массы и электромагнитного поля.

Красное смещение и геодезические

  • Красное смещение: фотон, излученный на r, наблюдается на бесконечности с частотой

$$ \frac{\nu_\infty}{\nu_r} = \sqrt{f(r)}. $$

  • Геодезические: для движения частиц в экваториальной плоскости (θ = π/2) эффективный потенциал:

$$ V_{\text{eff}}(r) = \left(1 - \frac{2GM}{c^2 r} + \frac{G Q^2}{4 \pi \varepsilon_0 c^4 r^2}\right) \left(c^2 + \frac{L^2}{r^2}\right), $$

где L — угловой момент частицы. Это позволяет исследовать стабильные орбиты и условия падения на черную дыру.

Классические и квантовые эффекты

  • Энергия и заряд изменяют термодинамические свойства: температура Хокинга для заряженной черной дыры:

$$ T_H = \frac{\hbar c^3}{2 \pi k_B G M} \frac{\sqrt{1 - \frac{Q^2}{G M^2}}}{\left(1 + \sqrt{1 - \frac{Q^2}{G M^2}}\right)^2}. $$

  • Эмиссия Хокинга учитывает электростатическое отталкивание заряженных частиц, что модифицирует спектр излучения.

Важные особенности

  1. Метрика Рейсснера-Нордстрема сохраняет сферическую симметрию и стационарность.
  2. Заряд уменьшает радиус внешнего горизонта и вводит внутренний.
  3. Возможность существования экстремальной черной дыры при Q2 = 4πε0G−1(GM/c2)2, когда горизонты сливаются r+ = r−.
  4. Внутренний горизонт Cauchy делает внутреннюю структуру более сложной, создавая возможности для анализа причинной структуры пространства-времени.

Метрика Рейсснера-Нордстрема является фундаментальной моделью для исследования влияния электрического заряда на свойства черных дыр, поведения геодезических, структуры горизонтов и квантовых эффектов излучения. Она также служит базой для обобщений на вращающиеся и многокомпонентные решения.

Оглавление