Модель расширяющейся Вселенной

Расширяющаяся Вселенная является фундаментальной концепцией современной космологии. Ее математическое описание основано на общей теории относительности Эйнштейна, в рамках которой гравитационное взаимодействие определяется кривизной пространства-времени. Для больших масштабов Вселенная рассматривается как однородная и изотропная, что формализуется космологическим принципом.

Пространственно-временная метрика

Основой динамики расширяющейся Вселенной является метрика Фридмана–Леметра–Робертсона–Уокера (ФЛРВ):

$$ ds^2 = -c^2 dt^2 + a^2(t) \left[ \frac{dr^2}{1 - kr^2} + r^2 (d\theta^2 + \sin^2\theta \, d\phi^2) \right] $$

где a(t) — масштабный фактор, описывающий изменение расстояний между объектами с течением времени; k — пространственная кривизна, принимающая значения 0 (плоская), +1 (сферическая) или −1 (гиперболическая); (r, θ, ϕ) — комовариантные координаты, привязанные к материи.

Масштабный фактор a(t) играет ключевую роль в описании расширения и сжатия Вселенной. Для наблюдаемой Вселенной его современное значение традиционно нормируют: a(t0) = 1, где t0 — возраст Вселенной.

Уравнения Фридмана

Эволюцию масштабного фактора определяют уравнения Фридмана, выведенные из уравнений Эйнштейна для метрики ФЛРВ при условии, что материя моделируется идеальной жидкостью:

  1. Первое уравнение Фридмана:

$$ \left( \frac{\dot a}{a} \right)^2 = \frac{8 \pi G}{3} \rho - \frac{k c^2}{a^2} + \frac{\Lambda c^2}{3} $$

  1. Второе уравнение Фридмана:

$$ \frac{\ddot a}{a} = -\frac{4 \pi G}{3} \left( \rho + \frac{3p}{c^2} \right) + \frac{\Lambda c^2}{3} $$

где ρ — плотность энергии вещества и излучения, p — давление, Λ — космологическая постоянная, G — гравитационная постоянная.

Ключевой момент: первое уравнение Фридмана устанавливает зависимость скорости расширения от плотности энергии и кривизны, второе — определяет ускорение или замедление расширения.

Классификация моделей Вселенной

В зависимости от плотности вещества и величины Λ различают несколько сценариев:

  • Закрытая Вселенная (k = +1): при высокой плотности ρ > ρc, где $\rho_c = \frac{3 H^2}{8 \pi G}$ — критическая плотность, расширение в конечном итоге сменяется сжатием.
  • Плоская Вселенная (k = 0): ρ = ρc; расширение замедляется и стремится к нулевой скорости на бесконечной временной шкале.
  • Открытая Вселенная (k = −1): ρ < ρc; расширение продолжается бесконечно.

При включении космологической постоянной возможны модели с ускоренным расширением.

Законы Хаббла и наблюдаемое расширение

Скорость удаления галактик определяется законом Хаббла:

v = H(t) d

где v — скорость удаления объекта, d — его текущая физическая дистанция, $H(t) = \frac{\dot a}{a}$ — параметр Хаббла. Наблюдаемые красные смещения в спектрах удаленных галактик подтверждают, что Вселенная расширяется.

Ключевой момент: измерение H0 = H(t0) позволяет определить возраст и масштаб Вселенной, а также проверять космологические модели.

Влияние разных компонентов на динамику

Модели учитывают несколько компонентов Вселенной:

  1. Вещество (массивные частицы): p ≈ 0, плотность ρm ∝ a−3.
  2. Радиация (фотонное и реликтовое излучение): p = ρrc2/3, плотность ρr ∝ a−4.
  3. Темная энергия (космологическая постоянная): p = −ρΛc2, плотность постоянна ρΛ = const.

Эти зависимости определяют раннюю и позднюю динамику Вселенной: радиация доминирует в первые мгновения после Большого взрыва, вещество — в промежуточные эпохи, а темная энергия — в современной эпохе ускоренного расширения.

Космологические наблюдения и проверка моделей

Современные наблюдения включают:

  • Красное смещение спектров галактик и сверхновых типа Ia.
  • Реликтовое микроволновое фоновое излучение (CMB), его анизотропии и поляризацию.
  • Структуру крупномасштабной вселенной: распределение галактик и кластеров.

Эти данные позволяют определить параметры Ωm, ΩΛ и H0 с высокой точностью, подтверждая модель ΛCDM (Λ — космологическая постоянная, CDM — холодная темная материя) как современный стандарт описания расширяющейся Вселенной.

Временная эволюция масштабного фактора

Решение уравнений Фридмана при различных эпохах дает аналитические зависимости:

  • Эпоха радиации: a(t) ∝ t1/2.
  • Эпоха вещества: a(t) ∝ t2/3.
  • Эпоха темной энергии: a(t) ∝ exp (HΛt), где $H_\Lambda = \sqrt{\Lambda/3}$.

Эти зависимости отражают смену доминирующих компонентов и позволяют строить временные шкалы, связывая наблюдаемое красное смещение с возрастом Вселенной.

Пространственно-временные кривизны и геометрия

Кривизна k влияет на геометрические свойства:

  • Плоская (k = 0): Евклидова геометрия, сумма углов треугольника равна 180∘.
  • Положительная (k = +1): Сферическая геометрия, сумма углов треугольника > 180∘, конечный объем.
  • Отрицательная (k = −1): Гиперболическая геометрия, сумма углов < 180∘, бесконечный объем.

Современные наблюдения CMB указывают на почти плоскую Вселенную с k ≈ 0 с высокой точностью.

Выводы по модели расширяющейся Вселенной

Модель расширяющейся Вселенной основана на уравнениях Фридмана и космологическом принципе, объединяет наблюдаемую динамику галактик, реликтовое излучение и крупномасштабную структуру. Она обеспечивает количественное описание роста масштабов Вселенной, взаимодействия различных компонентов и временной эволюции, формируя современную основу космологии и релятивистской физики.

Оглавление