Фундаментальные принципы
Отклонение света в гравитационном поле является одним из ключевых предсказаний общей теории относительности (ОТО). В отличие от ньютоновской механики, где свет рассматривается как масса, не подверженная гравитационному воздействию, в ОТО траектория фотона определяется геометрией пространства-времени. Любой массивный объект искривляет пространство-время, и свет, проходя рядом, следует геодезическим линиям кривого пространства.
Метрический подход
Для описания отклонения света вокруг массивного сферически-симметричного тела удобно использовать метрику Шварцшильда:
$$ ds^2 = \left(1 - \frac{2GM}{c^2 r}\right)c^2 dt^2 - \left(1 - \frac{2GM}{c^2 r}\right)^{-1} dr^2 - r^2 (d\theta^2 + \sin^2\theta\, d\phi^2), $$
где M — масса источника гравитации, G — гравитационная постоянная, c — скорость света, r, θ, ϕ — сферические координаты. Для света, движущегося по сферической плоскости θ = π/2, элемент интервала сводится к:
$$ 0 = \left(1 - \frac{2GM}{c^2 r}\right)c^2 dt^2 - \left(1 - \frac{2GM}{c^2 r}\right)^{-1} dr^2 - r^2 d\phi^2. $$
Уравнение движения фотона
Из-за симметрии системы сохраняются два интеграла движения:
$$ E = \left(1 - \frac{2GM}{c^2 r}\right) c^2 \frac{dt}{d\lambda}, $$
$$ L = r^2 \frac{d\phi}{d\lambda}, $$
где λ — аффинный параметр вдоль траектории фотона. Подставляя эти интегралы в условие ds2 = 0, получаем уравнение для радиальной зависимости:
$$ \left(\frac{dr}{d\phi}\right)^2 = \frac{r^4}{b^2} \left(1 - \frac{2GM}{c^2 r}\right)^{-2} - r^2 \left(1 - \frac{2GM}{c^2 r}\right)^{-1}, $$
где b = L/(E/c) — параметр удара, определяющий минимальное приближение фотона к массе.
Приближенное решение
Для слабых гравитационных полей (2GM/(c2r) ≪ 1) можно линейно разложить и получить приближенное выражение:
$$ \frac{d^2 u}{d\phi^2} + u = \frac{3 GM}{c^2} u^2, \quad u = \frac{1}{r}. $$
Решение этого уравнения с погрешностью первого порядка по GM/(c2r) дает формулу отклонения света:
$$ \Delta \phi = \frac{4 GM}{c^2 b}. $$
Для солнечного света, проходящего вблизи поверхности Солнца (b ≈ R⊙), численно Δϕ ≈ 1.75 угловых секунд.
Сравнение с классической теорией
Ньютоновская теория, рассматривающая свет как поток частиц с эффективной массой, предсказывает лишь половину этого значения ( ≈ 0.87″). Полное совпадение с наблюдениями, впервые подтвержденное экспериментом Эддингтона в 1919 году, стало одним из первых успешных подтверждений общей теории относительности.
Гравитационное линзирование
Если отклонение света происходит на значительном расстоянии и источником является массивная галактика или скопление галактик, эффект становится наблюдаемым как гравитационное линзирование:
Эффект широко используется в астрофизике для изучения распределения темной материи, оценки массы галактических скоплений и проверки космологических моделей.
Энергетические эффекты
Кроме отклонения траектории, гравитационное поле влияет на частоту фотонов — проявляется гравитационный красный сдвиг. В сочетании с отклонением света это обеспечивает точное понимание распространения электромагнитного излучения в космологическом контексте.
Точное решение
Для более точных расчетов, включая эффекты сильной кривизны, используется полная интеграция уравнения:
$$ \phi(r) = \int_{r_0}^{\infty} \frac{dr}{r^2 \sqrt{\frac{1}{b^2} - \frac{1}{r^2} \left(1 - \frac{2GM}{c^2 r}\right)}}, $$
где r0 — минимальное расстояние до источника. Этот интеграл учитывает все эффекты геометрии Шварцшильда и может быть численно вычислен для планет, звезд и черных дыр.
Применение и наблюдения
Отклонение света в гравитационном поле является важным инструментом в современной астрофизике, позволяя не только проверить ОТО, но и исследовать структуру Вселенной и распределение невидимой материи.