Петлевая квантовая гравитация

Петлевая квантовая гравитация (ПКГ) — это одна из ведущих попыток построения нелинейной квантовой теории гравитации, основанной на геометрической структуре пространства-времени и принципах канонической квантовой механики. В отличие от подходов на основе струны, ПКГ работает непосредственно с пространственно-временными метриками, вводя дискретную структуру геометрических величин на фундаментальном уровне.

Каноническое квантование гравитации

ПКГ начинается с канонического подхода к общей теории относительности. В основе лежит разложение метрики на пространственные срезы и параметр времени — так называемое 3+1 разложение Арнова–Дезера–Миса. В этом формализме пространство-время представлено как семейство трёхмерных пространственных гиперповерхностей, эволюция которых задаётся посредством уравнений Гамильтона:

ℋ_grav ≈ 0,  ℋ_i ≈ 0

где ℋ_grav — гамильтонианная часть, описывающая динамику поля метрики, а ℋ_i — векторная гамильтонианская компонента, отвечающая за диффеоморфизмы пространственных срезов.

Проблема канонического квантования GR заключается в том, что координаты и импульсы (тензоры метрики и их канонические сопряжённые) не поддаются прямому квантованию из-за их сложной нелинейной структуры. Петлевая квантовая гравитация решает эту задачу через переход к переменным Аштекара.

Переменные Аштекара

В 1986 году Абхи́ Аштекара предложил новую каноническую переменную для гравитации: комплексное соединение A_aⁱ и канонически сопряжённый тензор плотности триады E_i^a. Эти переменные преобразуют фазовое пространство гравитационного поля в форму, близкую к фазовому пространству калибровочной теории Янга–Миллса:

{A_aⁱ(x), E_j^b(y)} = 8πG δ_a^bδ_jⁱδ³(x − y)

где a, b — пространственные индексы, i, j — внутренние индексы SU(2), G — гравитационная постоянная.

Преимущество этих переменных состоит в том, что гамильтонианная и диффеоморфная части уравнений записываются в компактной форме, а квантование может быть построено по аналогии с калибровочными теориями.

Петли и гильбертово пространство

Ключевой идеей ПКГ является представление квантового состояния геометрии в виде сетей петель (spin networks) — графов, где рёбра подписаны представлениями группы SU(2), а вершины — интертвинерами, обеспечивающими инвариантность. Элементарная петля соответствует квантованию площади:

$$ \hat{A}_S | \text{сеть} \rangle = 8 \pi \ell_P^2 \gamma \sum_{e \cap S} \sqrt{j_e (j_e +1)} \, | \text{сеть} \rangle $$

где $\ell_P = \sqrt{\hbar G / c^3}$ — планковская длина, γ — параметр Барбара, j_e — спин на ребре, пересекающем поверхность S. Аналогично, объём оператора квантуется через вершины сетей.

Состояния сети петель формируют гильбертово пространство ℋ_kin — кинематическое пространство, на котором действуют основные операторы: площадь, объём, гамильтониан.

Дискретная структура пространства-времени

Одним из самых важных выводов ПКГ является дискретность геометрических величин на планковских масштабах. Любая измеряемая площадь или объём принимает дискретные значения, что радикально отличается от непрерывной классической геометрии. Этот результат имеет глубокие последствия:

• Сингулярности исчезают: дискретная структура не позволяет достигать нулевого объёма или бесконечной кривизны, что предполагает разрешение сингулярностей черных дыр и Большого взрыва.
• Квантовая космология: модели петлевой космологии показывают, что классический сингулярный Большой взрыв заменяется квантовым «отскоком».

Квантовый гамильтониан

Построение оператора гамильтониана в ПКГ — одна из наиболее сложных задач. Гамильтонианный оператор состоит из коммутаторов петель и пересечений сетей, формально записывается через квадратуры кривизны Аштекара:

$$ \hat{\mathcal{H}}_\text{grav} = \epsilon^{ijk} \text{Tr}\Big( \hat{F}_{ab} \hat{E}^a_i \hat{E}^b_j \Big) $$

где F̂_ab — кривизна соединения A_aⁱ. Реализация оператора требует регуляризации, введения базиса петель и использования топологически инвариантных алгебраических методов. В результате формулируется дискретная динамика геометрии, где эволюция задаётся изменением графов.

Петлевая космология и применение

ПКГ успешно применяется в квантовой космологии, где предполагается симметрия Гомогенной и изотропной вселенной. Основные выводы:

• Классический сингулярный момент a → 0 заменяется квантовым отскоком при плотности порядка планковской.
• Эффекты дискретной геометрии могут формировать следы на космологическом микроволновом фоне, хотя их обнаружение остаётся крайне сложной задачей.
• Петлевая космология предсказывает ограничение кривизны и плотности энергии, предотвращая бесконечности.

Взаимодействие с материей

Введение материи в ПКГ реализуется через добавление соответствующих операторов поля на графы петель. Это позволяет описывать квантовые состояния поля и геометрии одновременно, сохраняя дискретность пространства. При этом квантовые эффекты гравитации могут оказывать влияние на флуктуации материи, что особенно актуально для ранней Вселенной.

Проблемы и открытые вопросы

Несмотря на успехи, петлевая квантовая гравитация сталкивается с рядом нерешённых проблем:

• Классический предел: получение непрерывной общей теории относительности из дискретных сетей требует тщательного анализа.
• Ковариантная формулировка: разработка полностью согласованного лагранжевого подхода остаётся предметом исследований (spin foam models).
• Динамика гамильтониана: сложность регуляризации и неопределённость выбора параметров остаются предметом активных исследований.

ПКГ остаётся одной из наиболее перспективных моделей квантовой гравитации, объединяющей строгую математическую структуру с физически интерпретируемыми результатами. Она создаёт фундамент для изучения квантовой структуры пространства-времени, разрешения сингулярностей и понимания динамики ранней Вселенной на планковских масштабах.