В релятивистской физике электрические и магнитные поля не рассматриваются как независимые сущности, существующие отдельно. Они представляют собой компоненты единого электромагнитного поля, которое полностью описывается тензором электромагнитного поля Fμν. В разных системах отсчёта наблюдатели могут фиксировать различные сочетания электрических и магнитных компонентов, что полностью соответствует принципу релятивистской инвариантности.
Электрическое поле E и магнитное поле B в системе отсчёта S связаны с тензором Fμν следующим образом:
$$ F^{\mu\nu} = \begin{pmatrix} 0 & -E_x/c & -E_y/c & -E_z/c \\ E_x/c & 0 & -B_z & B_y \\ E_y/c & B_z & 0 & -B_x \\ E_z/c & -B_y & B_x & 0 \end{pmatrix} $$
где c — скорость света. Верхние индексы μ, ν принимают значения 0, 1, 2, 3, где 0 соответствует времени, а 1, 2, 3 — пространственным координатам.
Если перейти в систему отсчёта S′, движущуюся относительно S с постоянной скоростью v, компоненты поля преобразуются как компоненты ранга 2 тензора:
F′μν = Λ αμΛ βνFαβ,
где Λ αμ — матрица Лоренца. Для простоты рассмотрим движение вдоль оси x. Тогда преобразования компонент E и B имеют вид:
$$ \begin{aligned} E'_x &= E_x, \\ E'_y &= \gamma (E_y - v B_z), \\ E'_z &= \gamma (E_z + v B_y), \\ B'_x &= B_x, \\ B'_y &= \gamma \left(B_y + \frac{v}{c^2} E_z\right), \\ B'_z &= \gamma \left(B_z - \frac{v}{c^2} E_y\right), \end{aligned} $$
где $\gamma = 1/\sqrt{1 - v^2/c^2}$ — фактор Лоренца.
Ключевой момент: электрическое и магнитное поля взаимно преобразуются при переходе в другую систему отсчёта. То, что в одной системе является чисто электрическим полем, в другой может проявляться как комбинация электрического и магнитного полей.
Существуют два скаляра, инвариантных относительно Лоренцевых преобразований:
E ⋅ B = ExBx + EyBy + EzBz
E2 − c2B2 = Ex2 + Ey2 + Ez2 − c2(Bx2 + By2 + Bz2)
Эти величины сохраняются при любом переходе между инерциальными системами. Инварианты позволяют определить характер поля: электрическое, магнитное или смешанное, без привязки к конкретной системе отсчёта.
1. Чисто электрическое поле в движущейся системе: Если в системе S имеется статическое электрическое поле E = (0, E0, 0) и B = 0, то в системе S′, движущейся вдоль x-оси со скоростью v, появится магнитное поле:
$$ B'_z = -\gamma \frac{v}{c^2} E_0, \quad E'_y = \gamma E_0 $$
2. Чисто магнитное поле в движущейся системе: Если в S есть B = (0, 0, B0), E = 0, то в S′ возникнет электрическое поле:
E′y = −γvB0, B′z = γB0
Эти примеры демонстрируют взаимопревращение полей при переходе между системами отсчёта.
Для движения системы S′ относительно S с произвольной скоростью v можно записать более общие формулы:
E′∥ = E∥, E′⟂ = γ(E⟂ + v × B),
$$ \mathbf{B}'_\parallel = \mathbf{B}_\parallel, \quad \mathbf{B}'_\perp = \gamma \left(\mathbf{B}_\perp - \frac{\mathbf{v} \times \mathbf{E}}{c^2}\right) $$
где индексы ∥ и ⟂ обозначают компоненты, параллельные и перпендикулярные вектору v.
Важно: эти формулы обобщают случай движения вдоль оси x на произвольное направление и демонстрируют полную симметрию между электрическим и магнитным полями в релятивистской теории.
Понимание этих преобразований является ключевым для релятивистской электродинамики, анализа движения заряженных частиц в ускорителях, электромагнитных волн и взаимодействий в высокоэнергетической физике.