В релятивистской физике одной из фундаментальных предпосылок является инвариантность законов природы относительно выбора инерциальной системы отсчёта. Это положение формализуется через постулаты специальной теории относительности Эйнштейна:
Эти два постулата приводят к необходимости перехода от классических преобразований Галилея к преобразованиям Лоренца, которые учитывают конечную скорость света и сохраняют форму уравнений электромагнетизма Максвелла.
Рассмотрим две инерциальные системы отсчёта S и S′, где S′ движется относительно S с постоянной скоростью v вдоль оси x. Пусть события в пространстве-времени имеют координаты (t, x, y, z) в системе S и (t′, x′, y′, z′) в системе S′). Преобразования Лоренца для движения вдоль одной оси записываются как:
$$ \begin{aligned} x' &= \gamma (x - v t), \\ t' &= \gamma \left(t - \frac{v}{c^2} x\right), \\ y' &= y, \\ z' &= z, \end{aligned} $$
где γ — фактор Лоренца, определяемый выражением:
$$ \gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}. $$
Ключевым свойством этих преобразований является сохранение интервала пространства-времени:
s2 = c2t2 − x2 − y2 − z2 = c2t′2 − x′2 − y′2 − z′2.
Интервал s2 является инвариантом относительно преобразований Лоренца, что отражает фундаментальную релятивистскую симметрию пространства-времени.
Для компактного представления преобразований Лоренца удобно использовать матричную форму. В четырёхмерном пространстве-времени с координатами Xμ = (ct, x, y, z) преобразования можно записать как:
X′μ = Λ νμXν,
где Λ νμ — матрица преобразования Лоренца. Для буста вдоль оси x матрица имеет вид:
$$ \Lambda = \begin{pmatrix} \gamma & -\beta \gamma & 0 & 0 \\ -\beta \gamma & \gamma & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}, $$
где β = v/c.
Эта матрица удовлетворяет условию сохранения метрического тензора Минковского ημν = diag(1, −1, −1, −1):
ΛTη Λ = η.
Это условие обеспечивает инвариантность интервала s2 и отражает структуру группы Лоренца.
Λ−1(v) = Λ(−v).
Сохранение света: если x2 + y2 + z2 − c2t2 = 0 в одной системе, то то же верно в любой другой, что соответствует постулату постоянства скорости света.
Композиция: последовательное применение двух преобразований Лоренца вдоль одной оси эквивалентно одному преобразованию с эффективной скоростью, выраженной через формулу сложения скоростей:
$$ u' = \frac{u + v}{1 + \frac{uv}{c^2}}. $$
Лоренцова контракция и замедление времени: преобразования Лоренца ведут к релятивистским эффектам, наблюдаемым при больших скоростях:
Для произвольного направления скорости v преобразования Лоренца выражаются через четырёхмерный буст. Пусть n = v/|v| — единичный вектор направления движения. Тогда:
$$ \begin{aligned} t' &= \gamma \left(t - \frac{\mathbf{v} \cdot \mathbf{r}}{c^2}\right), \\ \mathbf{r}'_\parallel &= \gamma (\mathbf{r}_\parallel - \mathbf{v} t), \\ \mathbf{r}'_\perp &= \mathbf{r}_\perp, \end{aligned} $$
где r∥ = (r ⋅ n)n, r⟂ = r − r∥.
Преобразования Лоренца естественно интерпретируются через четырёх-векторы. Любой объект, записанный как Aμ = (A0, A), преобразуется по правилу:
A′μ = Λ νμAν.
Примеры:
Для тензоров второго ранга Tμν преобразование имеет вид:
T′μν = Λ αμΛ βνTαβ.
Это позволяет формулировать законы физики в форме, инвариантной относительно Лоренцевых преобразований, включая уравнения электродинамики Максвелла и уравнения движения частиц.
Преобразования Лоренца можно рассматривать как повороты в четырёхмерном пространстве Минковского, где время рассматривается как комплексная координата x0 = ict. Такие “повороты” сохраняют метрику пространства-времени и формально аналогичны ортогональным преобразованиям в Евклидовом пространстве.
Множество всех преобразований Лоренца образует некоммутативную группу. Основные свойства группы:
Группа Лоренца является фундаментальной в теории релятивистской симметрии и играет ключевую роль в квантовой теории поля и релятивистской динамике частиц.