Одним из первых и наиболее известных тестов общей теории относительности (ОТО) стала точная оценка движения планет в гравитационном поле Солнца, особенно Меркурия. Наблюдения показали, что орбита Меркурия не является статичной: положение перигелия (ближайшей точки к Солнцу) смещается со временем. Этот эффект называют прецессией перигелия Меркурия.
До разработки ОТО астрономы пытались объяснить этот эффект классическими методами. Вклад, предсказанный законами ньютоновской механики с учетом возмущений от других планет, составил около 531,63″ (угловых секунд) в век. Однако фактическая наблюдаемая прецессия равнялась примерно 574,10″ в век, оставляя аномалию около 42,47″ в век. Эта разница не поддавалась объяснению с помощью ньютоновских законов и возмущающих сил других планет.
Общая теория относительности учитывает кривизну пространства-времени, создаваемую массой Солнца. Движение планет подчиняется уравнениям геодезических линий в метрике Шварцшильда:
$$ ds^2 = -\left(1 - \frac{2GM}{c^2 r}\right)c^2 dt^2 + \left(1 - \frac{2GM}{c^2 r}\right)^{-1} dr^2 + r^2(d\theta^2 + \sin^2\theta \, d\phi^2) $$
Здесь G — гравитационная постоянная, M — масса Солнца, c — скорость света, а (r, θ, ϕ) — сферические координаты. Планета движется по орбите, соответствующей геодезической в этом пространстве-времени.
Для движения в плоскости θ = π/2 уравнения сокращаются до:
$$ \left(\frac{dr}{d\phi}\right)^2 = \frac{r^4}{L^2} \left[E^2 - \left(1 - \frac{2GM}{c^2 r}\right) \left(c^2 + \frac{L^2}{r^2}\right)\right] $$
где E — интеграл энергии на единицу массы, а L — интеграл момента количества движения на единицу массы. Введение переменной u = 1/r позволяет переписать уравнение в более удобной форме для анализа:
$$ \frac{d^2 u}{d\phi^2} + u = \frac{GM}{L^2} + \frac{3 GM}{c^2} u^2 $$
Ключевым отличием от ньютоновского уравнения является дополнительный член 3GMu2/c2, обусловленный релятивистской кривизной пространства-времени.
Для малых возмущений можно искать решение в виде:
u(ϕ) = u0(ϕ) + δu(ϕ)
где $u_0(\phi) = \frac{GM}{L^2} (1 + e \cos\phi)$ — ньютоновское эллиптическое решение с эксцентриситетом e, а δu(ϕ) — малая релятивистская поправка. Линейный анализ приводит к результату, что орбита не замкнута и перигелий смещается:
$$ \Delta\phi = \frac{6 \pi GM}{c^2 a (1 - e^2)} $$
где a — большая полуось орбиты. Подставляя параметры Меркурия (a ≈ 0, 387 а.е., e ≈ 0, 2056), получаем:
Δϕ ≈ 42, 98″ в век
Это практически полностью совпадает с наблюдаемой аномалией, что стало убедительным подтверждением ОТО.
Релятивистский член 3GMu2/c2 отражает неевклидность геометрии пространства вокруг массивного тела. В классической механике орбиты планет — замкнутые эллипсы, а в релятивистском случае кривизна заставляет орбиту постепенно «вращаться» вокруг центра масс. Прецессия возникает без внешних возмущений и является чисто геометрическим эффектом кривизны пространства-времени.
Для точного сравнения с наблюдениями необходимо учитывать:
Даже при учете этих факторов дополнительная релятивистская поправка остаётся необходимой для согласования теории с наблюдениями.
Прецессия перигелия Меркурия стала одним из первых количественных подтверждений общей теории относительности. До этого попытки объяснить аномалию с помощью гипотетической планеты «Вулкан» или модификации закона всемирного тяготения не увенчались успехом. Решение ОТО полностью объяснило наблюдаемые значения и укрепило доверие к новому представлению о гравитации как о геометрическом свойстве пространства-времени.
Прецессия перигелия Меркурия демонстрирует:
Эффект служит классическим примером того, как общая теория относительности расширяет пределы ньютоновской механики, превращая простое движение планет в прямой экспериментальный тест структуры пространства-времени.