Принцип наименьшего действия в ОТО

В основе динамики Общей Теории Относительности (ОТО) лежит принцип наименьшего действия, который является универсальным инструментом для получения уравнений движения физических систем. В релятивистской гравитации этот принцип применяется к метрике пространства-времени и полям материи, связывая геометрию с материей через вариационный метод.

1. Действие для свободного тестового тела

Для частицы с массой m, движущейся в кривом пространстве-времени с метрическим тензором gμν, действие определяется как длина траектории (геодезическая):

$$ S_\text{частица} = - m c \int d s = - m c \int \sqrt{g_{\mu\nu} \, dx^\mu dx^\nu}. $$

Ключевые моменты:

  • ds — элемент интервала в метрике gμν.
  • Знак минус выбран так, чтобы энергия оставалась положительной в локальной системе отсчёта.
  • Вариация действия δS = 0 приводит к уравнению геодезической линии:

$$ \frac{d^2 x^\lambda}{d \tau^2} + \Gamma^\lambda_{\mu\nu} \frac{dx^\mu}{d\tau} \frac{dx^\nu}{d\tau} = 0, $$

где Γμνλ — символы Кристоффеля, а τ — собственное время частицы.

Таким образом, движение свободной частицы в кривом пространстве-времени определяется геометрией, а не силами в привычном смысле.

2. Действие поля гравитации

В ОТО динамика метрики gμν описывается действием Эйнштейна–Гильберта:

$$ S_\text{гравитация} = \frac{c^3}{16 \pi G} \int R \sqrt{-g} \, d^4x, $$

где:

  • R — скаляр Римана (скаляр кривизны пространства-времени),
  • g = det (gμν) — детерминант метрического тензора,
  • G — гравитационная постоянная.

Основные аспекты:

  • Вариация этого действия по gμν даёт уравнения Эйнштейна:

$$ R_{\mu\nu} - \frac{1}{2} R g_{\mu\nu} = \frac{8 \pi G}{c^4} T_{\mu\nu}. $$

  • Скаляр Римана R содержит производные второго порядка от метрики, что делает уравнения второго порядка относительно gμν.

3. Действие для материальных полей

Материя в ОТО описывается через тензор энергии-импульса Tμν. Действие материи может иметь общую форму:

$$ S_\text{материя} = \int \mathcal{L}_\text{мат} \sqrt{-g} \, d^4x, $$

где ℒмат — лагранжиан материи, зависящий от полей и их ковариантных производных. Вариация этого действия по метрике определяет связь материи с кривизной:

$$ T_{\mu\nu} = -\frac{2}{\sqrt{-g}} \frac{\delta (\sqrt{-g} \, \mathcal{L}_\text{мат})}{\delta g^{\mu\nu}}. $$

4. Общее действие системы “гравитация + материя”

Полное действие системы записывается как сумма:

Sполное = Sгравитация + Sматерия.

  • Вариация по gμν даёт уравнения Эйнштейна с источником Tμν.
  • Вариация по полям материи приводит к их уравнениям движения в кривом пространстве-времени.

Это объединение формализует взаимодействие материи и геометрии, ключевой постулат ОТО: масса-энергия определяет кривизну, а кривизна направляет движение материи.

5. Симметрии и законы сохранения

Принцип наименьшего действия тесно связан с теоремой Нётер:

  • Инвариантность действия относительно сдвигов по времени ⇒ сохранение энергии.
  • Инвариантность относительно пространственных сдвигов ⇒ сохранение импульса.
  • Инвариантность относительно локальных преобразований координат связана с ковариантной сохранностью тензора энергии-импульса: ∇μTμν = 0.

Эти законы сохраняются даже в кривом пространстве-времени, хотя их форма отличается от классической механики.

6. Примеры применения принципа действия

  1. Чёрные дыры: вариация действия Эйнштейна с учетом сферической симметрии приводит к метрике Шварцшильда.
  2. Космология: действие с метрикой Фридмана–Леметра–Робертсона–Уокера и космологической константой Λ даёт уравнения Фридмана для расширяющейся Вселенной.
  3. Волновые поля в гравитации: лагранжиан поля Максвелла в кривом пространстве позволяет получать уравнения движения электромагнитного поля с учетом эффекта гравитации.

7. Основные особенности вариационного метода в ОТО

  • Действие должно быть скаляром под преобразованиями координат.
  • Ковариантная форма действия обеспечивает инвариантность уравнений Эйнштейна.
  • Принцип наименьшего действия позволяет унифицировать описание материи и гравитации, обеспечивая согласованность динамики всей системы.
Оглавление