В релятивистской физике для описания физических величин и законов удобнее всего использовать тензорный формализм. Тензоры позволяют записывать законы природы в форме, инвариантной относительно преобразований координат, что является ключевым в специальной и общей теории относительности.
Система координат и метрика Пространственно-временной континуум описывается четырёхмерным вектором xμ = (ct, x, y, z), где μ = 0, 1, 2, 3. Индексы верхнего положения обозначают компоненты контравариантного вектора. Метрика Минковского ημν позволяет вычислять скалярные произведения и опускать или поднимать индексы:
$$ \eta_{\mu\nu} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}, \quad \eta^{\mu\nu} = \eta_{\mu\nu}^{-1} = \eta_{\mu\nu}. $$
Поднятие и опускание индексов осуществляется с помощью метрики:
Aμ = ημνAν, Aμ = ημνAν.
Контравариантные компоненты Aμ изменяются при преобразованиях Лоренца как координаты, тогда как ковариантные Aμ — как градиенты функции координат.
Ковариантность — это требование, чтобы физические законы сохраняли форму при любых допустимых преобразованиях координат. В релятивистской физике основным является ковариантность относительно преобразований Лоренца:
x′μ = Λ νμxν,
где Λ νμ — матрица преобразования Лоренца, удовлетворяющая условию
Λ αμΛ βνημν = ηαβ.
Это гарантирует сохранение интервала:
ds2 = ημνdxμdxν = ημνdx′μdx′ν.
Пример: уравнения Максвелла можно записать в ковариантной форме с помощью тензора электромагнитного поля Fμν:
$$ \partial_\mu F^{\mu\nu} = \frac{4\pi}{c} j^\nu, $$
что делает их инвариантными относительно преобразований Лоренца.
Контравариантные векторы Vμ — это объекты, которые при линейных преобразованиях координат xμ → x′μ = Λ νμxν трансформируются по правилу:
V′μ = Λ νμVν.
Ковариантные векторы Vμ трансформируются «обратно»:
V′μ = Λμ νVν, где Λμ ν = (Λ−1) μν.
Между ковариантными и контравариантными формами существует однозначное соответствие через метрику:
Vμ = ημνVν, Vμ = ημνVν.
Тензор второго ранга Tμν имеет две контравариантные компоненты и трансформируется как
T′μν = Λ αμΛ βνTαβ.
Если один индекс ковариантный, а другой контравариантный, трансформация примет вид:
T′ νμ = Λ αμ(Λ−1) νβT βα.
Примеры тензоров в релятивистской физике:
Физические величины, не зависящие от системы координат, называются инвариантами.
Скалярный инвариант A = VμVμ сохраняет значение при преобразованиях Лоренца.
Примеры:
Тензорные объекты позволяют строить инвариантные уравнения, что является основой релятивистской физики.
В общей теории относительности, где пространство-время может быть искривлено, принцип ковариантности обобщается: законы природы должны сохранять форму при любых диффеоморфизмах координат.
xμ → x′μ(xν)
Здесь метрика gμν(x) заменяет метрику Минковского ημν, а производные заменяются на ковариантные производные ∇μ, чтобы учитывать искривление:
∇μVν = ∂μVν + ΓμλνVλ,
где Γμλν — символы Кристоффеля, зависящие от метрики.
Таким образом, ковариантность и контравариантность позволяют формулировать физические законы в форме, независимой от конкретной системы координат, что является фундаментальным принципом современной релятивистской физики.