Релятивистская энергия и масса покоя

В релятивистской физике ключевым понятием является энергия частицы, движущейся со скоростью, сравнимой с скоростью света. Эйнштейн установил, что масса и энергия взаимосвязаны фундаментальным образом, что проявляется в знаменитой формуле:

E = mc2

где E — энергия покоя частицы, m — её масса покоя, а c — скорость света в вакууме. Эта формула отражает принцип эквивалентности массы и энергии: масса — это форма энергии, и любая частица обладает энергией даже в состоянии покоя.

Релятивистская энергия частицы

Для движущейся частицы энергия выражается через её массу покоя m0 и скорость v следующим образом:

$$ E = \frac{m_0 c^2}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} $$

Здесь ключевой фактор — $\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - v^2/c^2}}$, называемый фактором Лоренца. Он показывает, насколько сильно увеличивается энергия частицы при приближении её скорости к скорости света.

  • При v ≪ c выражение сводится к классической кинетической энергии:

$$ E \approx m_0 c^2 + \frac{1}{2} m_0 v^2 $$

  • При v → c энергия стремится к бесконечности, что делает невозможным достижение скорости света частицей с ненулевой массой покоя.

Связь энергии и импульса

Релятивистская энергия частицы связана с её импульсом p через общее соотношение:

E2 = (pc)2 + (m0c2)2

Это фундаментальное уравнение релятивистской механики. Оно описывает как частицы с массой, так и безмассовые частицы, например фотон:

  • Для фотона m0 = 0, и уравнение упрощается до E = pc.
  • Для покоящейся частицы p = 0, и уравнение превращается в E = m0c2.

Эта связь позволяет рассматривать процессы передачи энергии и импульса при столкновениях частиц в релятивистской физике.

Кинетическая энергия в релятивистском случае

Релятивистская кинетическая энергия T определяется как разность полной энергии частицы и её энергии покоя:

$$ T = E - m_0 c^2 = m_0 c^2 \left( \frac{1}{\sqrt{1 - v^2/c^2}} - 1 \right) $$

Ключевые особенности релятивистской кинетической энергии:

  • Она растет быстрее, чем классическая $\frac{1}{2} m_0 v^2$ при больших скоростях.
  • Для малых скоростей v ≪ c формула корректно переходит в классическую.

Масса покоя и релятивистская масса

Традиционно вводилась концепция релятивистской массы m(v):

$$ m(v) = \frac{m_0}{\sqrt{1 - v^2/c^2}} = \gamma m_0 $$

С этим определением полная энергия частицы выражалась как E = m(v)c2.

Однако современная физика предпочитает оперировать масcой покоя m0, так как она инвариантна и не зависит от системы отсчета, в отличие от релятивистской массы. Релятивистская масса используется сегодня редко, чаще для исторических и пояснительных целей.

Энергия системы частиц

Для системы частиц общая энергия определяется как сумма энергий всех частиц:

Eсистема = ∑iEi

Особенность релятивистской системы:

  • Общая масса системы не равна сумме масс покоя отдельных частиц, если система движется или содержит энергию взаимодействий.
  • Это проявление эквивалентности массы и энергии на уровне систем: энергия связи, кинетическая энергия и внутренняя энергия вносят вклад в массу системы.

Пример: два фотона, движущихся навстречу друг другу, создают систему с массой $M = \frac{2E_\gamma}{c^2}$, хотя масса отдельных фотонов равна нулю.

Применение релятивистской энергии

  1. Ядерная физика: распад ядер и выделение энергии при ядерных реакциях объясняется разностью масс покоя исходных и конечных частиц: ΔE = Δm c2.
  2. Физика элементарных частиц: при ускорении частиц до релятивистских скоростей важно учитывать рост энергии и импульса, чтобы правильно проектировать коллайдеры.
  3. Космология и астрофизика: энергия частиц в космических лучах, релятивистские движения в окрестностях черных дыр, гамма-всплески — все это требует использования полной релятивистской формулы энергии.
Оглавление