Релятивистские уравнения движения

Релятивистская кинематика опирается на фундаментальный принцип инвариантности скорости света c во всех инерциальных системах отсчета. Вследствие этого классические уравнения движения Ньютона нуждаются в модификации для высоких скоростей v ∼ c. Основной инструмент релятивистской механики — четырёхмерные векторы (четырёхимпульс, четырёхскорость) и инварианты Минковского, обеспечивающие согласованность закона движения с принципом относительности.

Четырёхскорость и четырёхимпульс

Четырёхскорость частицы определяется как

$$ U^\mu = \frac{dX^\mu}{d\tau} = \gamma(c, \mathbf{v}), $$

где X^μ = (ct, r) — координаты события в пространстве Минковского, τ — собственное время частицы, v = dr/dt — трёхскорость в лабораторной системе, а $\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - v^2/c^2}}$ — фактор Лоренца.

Соответствующий четырёхимпульс определяется как

P^μ = m₀U^μ = (γm₀c, γm₀v),

где m₀ — масса покоя частицы. Ключевой инвариант:

P_μP^μ = (m₀c)²,

не зависит от системы отсчета.

---

Релятивистское уравнение движения

Релятивистское движение описывается через четырёхсилу F^μ, связанную с изменением четырёхимпульса:

$$ F^\mu = \frac{dP^\mu}{d\tau}. $$

Для частицы с постоянной массой покоя это приводит к соотношению

$$ F^\mu = m_0 \frac{dU^\mu}{d\tau}. $$

В компонентах лабораторной системы уравнения имеют вид:

$$ \mathbf{F} = \frac{d\mathbf{p}}{dt} = \frac{d}{dt}(\gamma m_0 \mathbf{v}), $$

где p = γm₀v — релятивистский импульс. В отличие от классической механики, здесь сила и ускорение не сонаправлены, а масса частицы увеличивается с ростом скорости.

Распределение сил в релятивистской динамике

Для движения вдоль одной оси:

$$ F = \frac{d}{dt}(\gamma m_0 v) = m_0 \gamma^3 \frac{dv}{dt}. $$

Отсюда вытекает релятивистская формула ускорения:

$$ a = \frac{F}{m_0 \gamma^3}. $$

Для произвольного направления ускорение разлагается на компоненты параллельную и перпендикулярную к скорости:

$$ \mathbf{a}_\parallel = \frac{\mathbf{F}_\parallel}{m_0 \gamma^3}, \quad \mathbf{a}_\perp = \frac{\mathbf{F}_\perp}{m_0 \gamma}. $$

Это показывает анизотропию релятивистского ускорения: сопротивление изменению скорости вдоль движения выше, чем перпендикулярно.

---

Релятивистские уравнения для частиц в электромагнитном поле

Если частица заряжена (q) и движется в электрическом и магнитном полях E и B, сила Лоренца в релятивистской форме выражается через четырёхсилу:

F^μ = qF^μνU_ν,

где F^μν — тензор электромагнитного поля. В лабораторной системе это эквивалентно:

$$ \frac{d}{dt}(\gamma m_0 \mathbf{v}) = q\left(\mathbf{E} + \mathbf{v} \times \mathbf{B}\right). $$

Это уравнение учитывает изменение массы частицы с ростом скорости и сохраняет согласованность с принципом относительности.

---

Релятивистская работа и энергия

Механическая работа в релятивистской механике связана с изменением энергии:

$$ \frac{dE}{dt} = \mathbf{F} \cdot \mathbf{v}, $$

где релятивистская энергия частицы

E = γm₀c².

Важный результат:

E² − (pc)² = (m₀c²)²,

что связывает энергию, импульс и массу частицы в любой системе отсчета. Для движущейся частицы это позволяет определить кинетическую энергию:

T = (γ − 1)m₀c².

---

Применение релятивистских уравнений движения

1. Динамика элементарных частиц: расчет траекторий в ускорителях, учитывая рост массы и релятивистское ускорение.
2. Космические аппараты и высокоскоростные объекты: проектирование маневров с учетом релятивистских эффектов.
3. Электродинамика плазмы: движение заряженных частиц в сильных магнитных полях.
4. Астрофизические процессы: движения частиц вблизи нейтронных звезд и черных дыр, где скорости близки к c.

Эти уравнения обеспечивают фундаментальное понимание движения частиц при высоких скоростях и лежат в основе всей современной релятивистской физики.