Релятивистский импульс и его сохранение

В классической механике импульс частицы определяется как произведение массы на скорость:

p = mv.

Однако при скоростях, сравнимых с скоростью света c, эта формула перестает быть корректной. Релятивистский импульс учитывает эффект замедления времени и релятивистское увеличение массы, что приводит к модифицированному определению:

p = γmv,

где m — масса покоя частицы, v — скорость частицы, а γ — фактор Лоренца:

$$ \gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}. $$

Ключевой момент: при малых скоростях (v ≪ c) γ ≈ 1, и релятивистский импульс переходит в классический.

Связь энергии и импульса

Энергия покоя частицы E0 = mc2 в релятивистской механике превращается в полную энергию:

E = γmc2.

Релятивистская энергия и импульс связаны через соотношение:

E2 = (pc)2 + (mc2)2.

Из этого соотношения видно, что импульс частицы напрямую влияет на её энергию, а при v → c импульс растет безгранично, что препятствует достижению скорости света частицами с ненулевой массой покоя.

Релятивистское сложение импульсов

Для системы нескольких частиц суммарный релятивистский импульс вычисляется как векторная сумма импульсов всех частиц:

Pсистема = ∑ipi = ∑iγimivi.

Важное отличие от классической механики: при преобразованиях Лоренца компоненты импульса и энергии меняются согласованно. Для двух систем, движущихся относительно друг друга со скоростью V, импульс и энергия связаны преобразованием Лоренца:

$$ p_x' = \gamma (p_x - \frac{V}{c^2} E), \quad E' = \gamma (E - V p_x), $$

где x — направление движения систем относительно друг друга.

Закон сохранения релятивистского импульса

Основной принцип релятивистской механики: в любой замкнутой системе релятивистский импульс и энергия сохраняются. Это означает, что в результате любых взаимодействий:

∑ipiдо = ∑ipiпосле,  ∑iEiдо = ∑iEiпосле.

Пример: релятивистское столкновение двух частиц. Пусть частицы 1 и 2 до столкновения имеют импульсы p1 и p2, а после столкновения — p1′ и p2′. Сохранение импульса записывается как:

p1 + p2 = p1′ + p2′.

Одновременно должно выполняться сохранение энергии:

E1 + E2 = E1′ + E2′.

Импульс частиц без массы покоя

Для фотонов m = 0, но они обладают энергией E = hν. Релятивистский импульс фотона определяется как:

$$ p = \frac{E}{c} = \frac{h\nu}{c}. $$

Таким образом, закон сохранения импульса распространяется и на свет. Это объясняет явления, такие как давление света и эффект комптоновского рассеяния.

Применение закона сохранения релятивистского импульса

  1. Столкновения элементарных частиц В ускорителях высоких энергий анализ столкновений проводится с учётом релятивистского импульса. Только такой подход позволяет точно вычислить кинематику продуктов реакции.

  2. Астрофизика В системах с околосветовыми скоростями (например, релятивистские джеты) закон сохранения импульса определяет траектории и динамику частиц.

  3. Релятивистская механика частиц в поле При движении в электромагнитных полях изменение импульса частицы подчиняется законам Лоренца и сохраняется вместе с полной энергией системы.

Ключевые моменты

  • Релятивистский импульс определяется как p = γmv.
  • Связь энергии и импульса: E2 = (pc)2 + (mc2)2.
  • Суммарный импульс системы и энергия сохраняются в любой замкнутой системе.
  • Для частиц без массы покоя (фотонов) импульс определяется через энергию: p = E/c.
  • Преобразования Лоренца обеспечивают правильное взаимодействие энергии и импульса при переходе между системами отсчёта.

Эти принципы составляют фундамент релятивистской динамики и необходимы для анализа процессов в высокоскоростной и высокоэнергетической физике.

Оглавление