Релятивистский закон сложения скоростей

Основные положения

В классической механике сложение скоростей выполняется по простой аддитивной схеме. Если тело движется со скоростью u′ относительно системы отсчета S′, которая сама движется со скоростью v относительно системы S, то скорость тела относительно S определяется как:

u = u′ + v

Однако эта формула нарушает постулат специальной теории относительности Эйнштейна о постоянстве скорости света c во всех инерциальных системах отсчета. Для скоростей, близких к скорости света, необходимо использовать релятивистский закон сложения скоростей, который гарантирует, что результирующая скорость никогда не превышает c.

Вывод релятивистского закона сложения скоростей

Пусть имеется две инерциальные системы отсчета S и S′, где S′ движется со скоростью v вдоль оси x относительно S. Пусть тело движется в S′ со скоростью u′ вдоль той же оси. Согласно преобразованиям Лоренца:

$$ x' = \gamma (x - vt), \quad t' = \gamma \left(t - \frac{vx}{c^2}\right), \quad \gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} $$

Дифференцируя по времени:

$$ dx' = \gamma (dx - v dt), \quad dt' = \gamma \left(dt - \frac{v dx}{c^2}\right) $$

Скорость тела в S′:

$$ u' = \frac{dx'}{dt'} = \frac{\gamma (dx - v dt)}{\gamma \left(dt - \frac{v dx}{c^2}\right)} = \frac{dx - v dt}{dt - \frac{v dx}{c^2}} $$

Подставляя dx = u dt, получаем релятивистскую формулу сложения скоростей вдоль одной оси:

$$ u = \frac{u' + v}{1 + \frac{u'v}{c^2}} $$

Эта формула является ключевой в релятивистской кинематике.

Свойства релятивистского сложения скоростей

  1. Симметрия: Формула симметрична относительно обмена систем, если правильно определить направления движения.
  2. Не превышение скорости света: Если u′ < c и v < c, то u < c. Это ключевой результат, предотвращающий нарушение релятивистского ограничения.
  3. Переход к классике при малых скоростях: Для u′, v ≪ c:

u ≈ u′ + v

что возвращает классическую аддитивную формулу.

Случай произвольного направления движения

Если скорости u⃗′ и v⃗ направлены под произвольным углом, то релятивистская кинематика требует разделения на компоненты вдоль направления движения S′ и перпендикулярные:

$$ u_\parallel = \frac{u'_\parallel + v}{1 + \frac{u'_\parallel v}{c^2}}, \quad u_\perp = \frac{u'_\perp}{\gamma \left(1 + \frac{u'_\parallel v}{c^2}\right)} $$

где u′∥ и u′⟂ — компоненты скорости в системе S′ вдоль и перпендикулярно направлению движения S′ относительно S.

Эта формула показывает, что релятивистские эффекты проявляются не только в ограничении максимальной скорости, но и в изменении перпендикулярной компоненты скорости.

Примеры применения

  1. Сложение скоростей фотонов и частиц: Если фотон движется в системе S′ со скоростью c, а система S′ движется относительно S со скоростью v, то по формуле:

$$ u = \frac{c + v}{1 + \frac{cv}{c^2}} = c $$

что подтверждает независимость скорости света от движения источника.

  1. Космическая кинематика: Для частиц с высокими энергиями в ускорителях или в астрофизике релятивистское сложение скоростей позволяет точно рассчитывать эффекты столкновений и преобразование энергии между системами отсчета.

Инвариантность и связь с четырёхскоростью

Релятивистское сложение скоростей тесно связано с понятием четырёхскорости Uμ = γ(c, u⃗), где $\gamma = 1/\sqrt{1 - u^2/c^2}$. Использование четырёхвекторов позволяет описывать сложение скоростей как линейное преобразование в пространстве Минковского, что значительно упрощает анализ сложных систем.

Заключение по ключевым моментам

  • Релятивистское сложение скоростей заменяет классическое аддитивное сложение при высоких скоростях.
  • Формула гарантирует, что скорость любого объекта не превысит c.
  • Для произвольного направления движения используется разложение на параллельные и перпендикулярные компоненты.
  • Закон тесно связан с преобразованиями Лоренца и четырёхвекторами, обеспечивая согласованность с принципами специальной теории относительности.
Оглавление