Решение де Ситтера и анти-де Ситтера

Основные уравнения и предпосылки

В общей теории относительности (ОТО) уравнения Эйнштейна с космологической постоянной Λ имеют вид:

$$ R_{\mu\nu} - \frac{1}{2} g_{\mu\nu} R + \Lambda g_{\mu\nu} = \frac{8 \pi G}{c^4} T_{\mu\nu}. $$

В вакууме (Tμν = 0) они упрощаются до:

$$ R_{\mu\nu} - \frac{1}{2} g_{\mu\nu} R + \Lambda g_{\mu\nu} = 0. $$

Для исследования моделей с космологической постоянной удобны решения с максимальной симметрией пространства-времени, когда метрика однородна и изотропна. В таких случаях кривизна пространства определяется полностью космологической постоянной.

Метрика де Ситтера

Вывод и форма метрики

Для положительной космологической постоянной (Λ > 0) решение уравнений Эйнштейна в вакууме описывает расширяющуюся Вселенную без материи, известную как пространство де Ситтера. В координатах Фридмана–Леметра–Робертсона–Уокера (ФЛРВ) метрика принимает вид:

ds2 = c2dt2 − e2Ht(dx2 + dy2 + dz2),

где $H = \sqrt{\frac{\Lambda}{3}}$ — постоянная Хаббла.

Ключевые особенности:

  • Пространство плоское и изотропное.
  • Экспоненциальное расширение, a(t) ∼ eHt, где a(t) — масштабный фактор.
  • Отсутствие материи и излучения; динамика определяется только Λ.

Альтернативно, в координатах сферической симметрии, метрика де Ситтера имеет вид:

$$ ds^2 = \left(1 - \frac{\Lambda r^2}{3} \right) c^2 dt^2 - \frac{dr^2}{1 - \frac{\Lambda r^2}{3}} - r^2 d\Omega^2, $$

где dΩ2 = dθ2 + sin2θdϕ2 — элемент угловой части.

Эта форма демонстрирует существование космологического горизонта при $r_c = \sqrt{3/\Lambda}$, аналогичного горизонту событий в черной дыре.

Геометрические свойства

  • Скалярная кривизна: R = 4Λ, постоянная во всем пространстве.
  • Максимальная симметрия: пространство-время де Ситтера обладает 10 параметрами симметрий (аналогично плоскому Минковскому, но с кривизной).
  • Геодезические: свободные частицы ускоряются друг от друга, создавая эффект “космического отталкивания”.

Метрика анти-де Ситтера

Для отрицательной космологической постоянной (Λ < 0) решение называется анти-де Ситтер (AdS). В координатах сферической симметрии метрика записывается как:

$$ ds^2 = \left(1 + \frac{r^2}{L^2} \right) c^2 dt^2 - \frac{dr^2}{1 + \frac{r^2}{L^2}} - r^2 d\Omega^2, $$

где $L = \sqrt{-3/\Lambda}$ — характерный радиус кривизны.

Особенности AdS:

  • Отрицательная постоянная кривизна: R = 4Λ < 0.
  • Глобальная симметрия: также имеет 10 параметров симметрий.
  • Пространство выглядит как “седловое” в пространственно-временной геометрии.
  • Имеет важное значение в теории струн и AdS/CFT соответствии.

Координаты Пойнткаре

AdS пространство удобно описывать через Пойнткаре координаты, где метрика принимает конформно плоскую форму:

$$ ds^2 = \frac{L^2}{z^2} \left( c^2 dt^2 - dx^2 - dy^2 - dz^2 \right), $$

что облегчает анализ геодезических и поля на фоне анти-де Ситтера.

Динамика частиц и горизонты

  • В де Ситтере существует космологический горизонт, ограничивающий наблюдаемую область, аналогично горизонту событий.
  • В анти-де Ситтере частицы могут “возвращаться”, так как пространство “закрыто” по радиальной координате.

Геодезические линии для света и частиц выражаются через стандартные уравнения:

$$ \frac{d^2 x^\mu}{d \tau^2} + \Gamma^\mu_{\nu\sigma} \frac{dx^\nu}{d\tau}\frac{dx^\sigma}{d\tau} = 0. $$

В де Ситтере свободные частицы ускоряются друг от друга из-за эффекта Λ > 0, а в анти-де Ситтере — притягиваются обратно к центру.

Физическое значение

  • Де Ситтер: модель инфляционной Вселенной, описывает экспоненциальное расширение на ранней стадии и ускоренную фазу современной Вселенной.
  • Анти-де Ситтер: играет ключевую роль в теории квантовой гравитации, особенно в AdS/CFT корреспонденции, где граница AdS описывает квантовое поле.

Ключевые моменты для учебника:

  • Λ > 0 → де Ситтер, Λ < 0 → анти-де Ситтер.
  • Динамика определяется исключительно космологической постоянной.
  • Де Ситтер имеет космологический горизонт, AdS — “закрытое” пространство.
  • Пространство-макс. симметрично, скалярная кривизна постоянна: R = 4Λ.
Оглавление