Решение Керра для вращающейся черной дыры

Решение Керра является обобщением метрики Шварцшильда на случай вращающейся, незаряженной черной дыры. В отличие от сферически симметричной метрики Шварцшильда, метрика Керра обладает аксиальной симметрией и характеризуется наличием углового момента J. Она описывает пространство-время вокруг массивного вращающегося тела с массой M и угловым моментом на единицу массы a = J/M.

Метрика Керра в бордовой (Boyer–Lindquist) системе координат (t, r, θ, ϕ) имеет вид:

$$ ds^2 = - \left(1 - \frac{2 G M r}{\Sigma c^2}\right) c^2 dt^2 - \frac{4 G M a r \sin^2\theta}{\Sigma c} dt\, d\phi + \frac{\Sigma}{\Delta} dr^2 + \Sigma d\theta^2 + \left(r^2 + a^2 + \frac{2 G M a^2 r \sin^2\theta}{\Sigma c^2}\right) \sin^2\theta d\phi^2, $$

где введены обозначения:

$$ \Sigma = r^2 + a^2 \cos^2\theta, \quad \Delta = r^2 - \frac{2 G M r}{c^2} + a^2. $$

Ключевой момент: наличие смешанного слагаемого dt dϕ отражает эффект вращения и приводит к явлению «завихрения пространства-времени» — рампинга Лense–Thirring.

Горизонты и эргосфера

Горизонты черной дыры Керра определяются корнями уравнения Δ = 0:

$$ r_\pm = \frac{G M}{c^2} \pm \sqrt{\left(\frac{G M}{c^2}\right)^2 - a^2}. $$

  • r+ — внешний (событийный) горизонт.
  • r− — внутренний (Cauchy) горизонт.

Для a > GM/c2 решение становится гиперболическим, что соответствует «голой сингулярности» и нарушению космической цензуры.

Эргосфера определяется поверхностью, где gtt = 0:

$$ r_{\text{erg}}(\theta) = \frac{G M}{c^2} + \sqrt{\left(\frac{G M}{c^2}\right)^2 - a^2 \cos^2\theta}. $$

Ключевой момент: внутри эргосферы невозможно оставаться в покое относительно удаленного наблюдателя: все объекты вынуждены вращаться вместе с черной дырой. Это обеспечивает возможность процессов извлечения энергии, таких как механизм Пенроуза.

Геодезические в метрике Керра

Для изучения движения частиц и фотонов вводятся константы движения:

  1. Энергия E = −pt,
  2. Азимутальный момент Lz = pϕ,
  3. Константа Картерa Q, связанная с квадратичным интегралом импульса.

Уравнения движения можно записать в виде:

$$ \Sigma \frac{dr}{d\tau} = \pm \sqrt{R(r)}, \quad \Sigma \frac{d\theta}{d\tau} = \pm \sqrt{\Theta(\theta)}, $$

где

R(r) = [(r2 + a2)E − aLz]2 − Δ[m2r2 + (Lz − aE)2 + Q],

$$ \Theta(\theta) = Q - \cos^2\theta \left[a^2 (m^2 - E^2) + \frac{L_z^2}{\sin^2\theta}\right]. $$

Ключевой момент: наличие константы Картерa позволяет полное разделение уравнений движения, что делает геодезические в метрике Керра интегрируемыми.

Вращательные эффекты и предельные орбиты

Метрика Керра позволяет вычислять специальные орбиты, критические для астрофизики:

  • Орбитальная скорость на круговой орбите в экваториальной плоскости:

$$ \Omega_\pm = \frac{c}{r^{3/2} \pm a \sqrt{GM/c^2}}. $$

Знак ± соответствует вращению по направлению или против вращения черной дыры. Орбиты вблизи горизонта значительно отличаются по энергии и угловому моменту от ньютоновских.

  • Внутреннее пограничное стабильное орбитальное расстояние (ISCO) зависит от a:

$$ r_{\text{ISCO}} = GM/c^2 \left\{3 + Z_2 \mp \sqrt{(3 - Z_1)(3 + Z_1 + 2 Z_2)}\right\}, $$

где

$$ Z_1 = 1 + \left(1 - \frac{a^2 c^4}{G^2 M^2}\right)^{1/3} \left[ \left(1 + \frac{a c^2}{GM} \right)^{1/3} + \left(1 - \frac{a c^2}{GM} \right)^{1/3} \right], $$

$$ Z_2 = \sqrt{3 \frac{a^2 c^4}{G^2 M^2} + Z_1^2}. $$

Ключевой момент: для максимально вращающейся черной дыры a = GM/c2 ISCO может находиться вплотную к горизонту, что увеличивает эффективность аккреционного излучения до 42% массы падающей материи.

Энергетические процессы и механизм Пенроуза

Внутри эргосферы возможна расщепляющаяся траектория, при которой частица распадается на две:

  • Одна падает в черную дыру с отрицательной энергией относительно бесконечно удаленного наблюдателя.
  • Другая уносит энергию, превышающую первоначальную, извлекая энергию вращения черной дыры.

Энергетический предел процесса определяется параметрами a и M, что делает вращающиеся черные дыры потенциальными источниками высокоэнергетических астрофизических явлений.

Квазирелятивистские эффекты

  1. Гравитационное замедление времени: ближе к горизонту наблюдатель на удалении фиксирует значительное замедление времени для падающей частицы.
  2. Красное смещение фотонов: свет, испускаемый рядом с черной дырой, сильно красно смещается.
  3. Линзирование света: траектории фотонов искривляются, создавая «теневую» область, наблюдаемую в аккреционных дисках.

Ключевой момент: все эти эффекты усиливаются с ростом параметра вращения a и становятся максимальными при экстремальных черных дырах.

Оглавление