Скалярно-тензорные теории гравитации представляют собой обобщение общей теории относительности (ОТО), в которых гравитационное взаимодействие описывается не только тензорным полем метрики gμν, но и дополнительным скалярным полем ϕ. Эти теории позволяют учитывать возможное изменение «гравитационной постоянной» и дают гибкость в описании гравитационных эффектов, особенно в космологии и в сильных гравитационных полях.
В скалярно-тензорных теориях гравитации гравитационное действие обычно записывается в форме:
$$ S = \frac{1}{16 \pi} \int d^4x \sqrt{-g} \left[ \phi R - \frac{\omega(\phi)}{\phi} g^{\mu\nu} \partial_\mu \phi \, \partial_\nu \phi - V(\phi) \right] + S_\text{matter}[g_{\mu\nu}, \Psi], $$
где:
Особое место занимает теория Бранс–Дике, где ω(ϕ) = ωBD = const и V(ϕ) = 0. Она является первой и наиболее изученной скалярно-тензорной моделью.
Вариация действия по метрике gμν и скалярному полю ϕ дает следующие уравнения поля:
Тензорное уравнение:
$$ G_{\mu\nu} = \frac{8\pi}{\phi} T_{\mu\nu} + \frac{\omega(\phi)}{\phi^2} \left( \partial_\mu \phi \partial_\nu \phi - \frac{1}{2} g_{\mu\nu} \partial_\alpha \phi \partial^\alpha \phi \right) + \frac{1}{\phi} \left( \nabla_\mu \nabla_\nu \phi - g_{\mu\nu} \Box \phi \right) - \frac{V(\phi)}{2\phi} g_{\mu\nu}, $$
где $G_{\mu\nu} = R_{\mu\nu} - \frac{1}{2} g_{\mu\nu} R$ — тензор Эйнштейна, □ϕ = gμν∇μ∇νϕ — д’Аламбер оператор.
Скалярное уравнение:
$$ \Box \phi = \frac{1}{2\omega(\phi)+3} \left( 8 \pi T - \frac{d\omega}{d\phi} \partial_\mu \phi \partial^\mu \phi + \phi \frac{dV}{d\phi} - 2V(\phi) \right), $$
где T = Tμμ — след тензора энергии-импульса материи.
Эти уравнения показывают, что скалярное поле ϕ взаимодействует с материей через тензор энергии-импульса, а метрика gμν получает дополнительную поправку за счет скалярного поля.
Переменная гравитационная «константа»: В скалярно-тензорных теориях гравитационная постоянная становится функцией поля ϕ:
$$ G_\text{eff} \sim \frac{1}{\phi}. $$
Это позволяет моделировать динамическое изменение силы гравитации во времени и пространстве.
Постньютоновские эффекты: Скалярно-тензорные модели предсказывают небольшие отклонения от ОТО в слабых гравитационных полях. Они описываются параметрами ППН (параметрически-постньютоновскими) γ и β, где, например, для теории Бранс–Дике:
$$ \gamma = \frac{1+\omega_\text{BD}}{2+\omega_\text{BD}}, \quad \beta = 1. $$
Космологические решения: Скалярно-тензорные теории позволяют строить решения для расширяющейся Вселенной, где скалярное поле может играть роль динамической темной энергии. Для FLRW-метрики уравнения приводят к модифицированным уравнениям Фридмана:
$$ 3 \frac{\dot{a}^2}{a^2} = \frac{8\pi}{\phi} \rho + \frac{\omega}{2} \left(\frac{\dot{\phi}}{\phi}\right)^2 - 3 \frac{\dot{a}}{a} \frac{\dot{\phi}}{\phi} + \frac{V(\phi)}{2\phi}. $$
Число степеней свободы: Помимо двух тензорных степеней свободы гравитона, появляется одна дополнительная скалярная степень свободы, что изменяет динамику гравитационных волн и их взаимодействие с материей.
Сильнейшие ограничения на скалярно-тензорные теории приходят из солнечной системы:
Сдвиг перигелия Меркурия, световое отклонение и замедление радиосигналов задают нижнюю границу для ωBD:
ωBD ≳ 40 000.
Гравитационные волны также чувствительны к наличию скалярной компоненты. Например, с помощью LIGO и Virgo можно проверять возможное излучение скалярных гравитационных волн.
Теории с нелинейным потенциалом V(ϕ): Позволяют моделировать космологическую инфляцию и темную энергию через динамическое скалярное поле.
Мультискалярно-тензорные теории: Включают несколько скалярных полей, что расширяет возможности моделирования расширяющейся Вселенной и альтернативных форм темной материи.
Картово-Юкардины формы действия: Через преобразования Конформных и Йорданских представлений можно перейти между различными формулировками, при этом сохраняется физическая предсказательная сила теории.