В релятивистской физике различают собственное время и координатное время, которые играют фундаментальную роль при описании движения объектов с околосветовыми скоростями.
Собственное время (τ) — это время, измеряемое на часах, находящихся в системе отсчета, связанной с рассматриваемым объектом. Иными словами, это время, которое проходит для самого объекта. Оно является инвариантной величиной, одинаковой для всех наблюдателей, независимо от их движения.
Координатное время (t) — это время, измеряемое в некоторой системе отсчета, выбранной для описания движения объекта. В отличие от собственного времени, координатное время зависит от системы отсчета и может отличаться для наблюдателей, движущихся относительно друг друга.
Физически это различие проявляется, например, в явлении замедления времени: движущийся объект испытывает меньшее течение времени по сравнению с объектом в системе отсчета наблюдателя.
Для частицы, движущейся со скоростью v относительно наблюдателя, связь между интервалами времени задается формулой:
$$ d\tau = \sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}} \, dt $$
где:
Интегрирование этой зависимости для движения с переменной скоростью даёт:
$$ \tau = \int_0^t \sqrt{1 - \frac{v(t')^2}{c^2}} \, dt' $$
Эта формула показывает, что собственное время всегда меньше координатного для движущегося объекта (v ≠ 0), что и является выражением эффекта замедления времени.
В четырёхмерном пространстве Минковского интервал между двумя событиями задается как:
ds2 = c2dt2 − dx2 − dy2 − dz2
Для частицы, движущейся вдоль траектории x(t), y(t), z(t), собственное время связано с интервалом:
ds = c dτ
Таким образом, собственное время является длина траектории в четырехмерном пространстве Минковского, аналогично тому, как координатное время — это параметр в пространстве наблюдателя.
Ключевой момент: собственное время инвариантно относительно преобразований Лоренца, тогда как координатное время зависит от выбора системы отсчета.
Часы на движущемся спутнике: Часы, установленные на спутнике, движущемся относительно Земли, идут медленнее по сравнению с часами на поверхности Земли. Этот эффект учтён в системах GPS, где коррекция времени критически важна для точного определения позиции.
Эффект “близнецов”: Если один из близнецов путешествует с околосветовой скоростью, а другой остаётся на Земле, то по возвращении путешественник окажется моложе. Это следствие различия между собственным временем (для движущегося близнеца) и координатным временем (для Земли).
Пусть система S′ движется со скоростью v относительно системы S вдоль оси x. Преобразования Лоренца связывают координатное время t и t′ в двух системах:
$$ t' = \gamma \left(t - \frac{vx}{c^2}\right), \quad x' = \gamma (x - vt) $$
где $\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - v^2/c^2}}$ — фактор Лоренца.
Собственное время частицы, движущейся вдоль траектории x(t), вычисляется как:
$$ d\tau = dt \sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}} = \frac{dt}{\gamma} $$
Таким образом, наблюдатель в системе S видит замедление времени для движущегося объекта, что является фундаментальным следствием релятивистских преобразований.