Соотношение энергия-импульс-масса

В релятивистской физике ключевым понятием является связь между энергией, импульсом и массой частицы. Эта связь обобщает законы классической механики и позволяет корректно описывать движение частиц со скоростями, близкими к скорости света.

1. Релятивистский импульс

Релятивистский импульс частицы определяется как:

p = γmv,

где:

  • m — собственная (инвариантная) масса частицы,
  • v — скорость частицы в данной системе отсчета,
  • $\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - v^2/c^2}}$ — фактор Лоренца,
  • c — скорость света в вакууме.

Ключевой особенностью релятивистского импульса является его неограниченный рост при приближении скорости частицы к c, что отражает невозможность ускорить частицу с ненулевой массой до скорости света.

2. Релятивистская энергия

Полная энергия частицы включает как кинетическую, так и «покойную» составляющую:

E = γmc2.

Здесь γm — релятивистская масса, которая увеличивается с ростом скорости. Полная энергия разлагается на:

E = E0 + T,

где:

  • E0 = mc2 — энергия покоя,
  • T = (γ − 1)mc2 — релятивистская кинетическая энергия.

Энергия покоя является фундаментальной величиной, сохраняющейся во всех инерциальных системах отсчета, и определяет минимальный «энергетический уровень» частицы.

3. Основное релятивистское соотношение

Связь энергии, импульса и массы выражается следующим уравнением:

E2 = (pc)2 + (mc2)2,

где p = |p| — модуль релятивистского импульса.

Особенности и следствия:

  1. Для частицы покоя (v = 0) импульс равен нулю, и уравнение превращается в знаменитое выражение Эйнштейна:

E = mc2.

  1. Для движения со скоростью, близкой к c, энергия частицы определяется главным образом импульсом: E ≈ pc. Это особенно важно для описания движения фотонов и ультрарелятивистских частиц.

  2. Соотношение позволяет объединить кинематические и динамические величины в единый четырехмерный вектор энергии-импульса:

$$ P^\mu = \left(\frac{E}{c}, \mathbf{p}\right), $$

с инвариантом:

$$ P^\mu P_\mu = \left(\frac{E}{c}\right)^2 - |\mathbf{p}|^2 = (m c)^2. $$

4. Безмассовые частицы

Для фотонов и других безмассовых частиц (m = 0) релятивистское соотношение принимает вид:

E = pc,

что полностью согласуется с наблюдаемой скоростью света. В данном случае вся энергия частицы определяется импульсом, а понятие «энергия покоя» теряет смысл.

5. Применение в физике высоких энергий

Релятивистское соотношение энергия–импульс–масса является основой для анализа процессов:

  • Релятивистские столкновения частиц: Закон сохранения энергии и импульса используется для вычисления кинематики продуктов реакции.
  • Распад частиц: Задачи на определение масс и энергий дочерних частиц решаются с помощью инварианта E2 − (pc)2 = (mc2)2.
  • Астрофизика и космология: Для описания движения частиц в экстремальных гравитационных и электромагнитных полях, а также в потоках высокоэнергетического космического излучения.

6. Примеры релятивистских расчетов

Пример 1: Энергия электрона на релятивистской скорости

Пусть электрон движется со скоростью v = 0.8c. Фактор Лоренца:

$$ \gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - (0.8)^2}} = \frac{1}{\sqrt{0.36}} \approx 1.667. $$

Полная энергия:

E = γmc2 ≈ 1.667 mc2.

Кинетическая энергия:

T = (γ − 1)mc2 ≈ 0.667 mc2.

Пример 2: Фотоны

Для фотона с длиной волны λ энергия и импульс связаны через:

$$ E = h\nu = \frac{hc}{\lambda}, \quad p = \frac{E}{c} = \frac{h}{\lambda}, $$

где h — постоянная Планка. Уравнение E = pc выполняется точно.

7. Физический смысл

Соотношение энергия–импульс–масса отражает фундаментальное свойство пространства-времени: в релятивистской механике энергия и импульс являются компонентами единого четырехмерного вектора. Собственная масса выступает инвариантом, неизменным при переходе между инерциальными системами. Это дает возможность унифицировать законы сохранения энергии и импульса в любом релятивистском процессе, что является ключевым для современной физики частиц, астрофизики и космологии.

Оглавление