Тензор электромагнитного поля

В релятивистской физике электромагнитное поле удобно описывать через тензор второго ранга, который объединяет электрическое и магнитное поля в единый объект. Такой подход обеспечивает инвариантность формулировок относительно преобразований Лоренца и упрощает запись релятивистских уравнений Максвелла.

Обозначим координаты пространства-времени как x^μ = (ct, r), где c — скорость света, t — время, а r = (x, y, z) — пространственные координаты. Используем метрический тензор Минковского η_μν = diag(1, −1, −1, −1).

Определение тензора электромагнитного поля

Тензор электромагнитного поля F_μν вводится через 4-потенциал A^μ = (ϕ, A), где ϕ — скалярный потенциал, A — векторный потенциал:

F_μν = ∂_μA_ν − ∂_νA_μ.

Ключевые моменты:

• F_μν — антисимметричный тензор: F_μν = −F_νμ.
• Компоненты тензора связывают электрическое и магнитное поля:

F_0i = E_i,  F_ij = −ε_ijkB_k,

где i, j, k = 1, 2, 3, а ε_ijk — символ Леви-Чивиты.

Явная матричная форма:

$$ F_{\mu\nu} = \begin{pmatrix} 0 & E_x & E_y & E_z \\ -E_x & 0 & -B_z & B_y \\ -E_y & B_z & 0 & -B_x \\ -E_z & -B_y & B_x & 0 \end{pmatrix}. $$

Связь с уравнениями Максвелла

В релятивистской форме уравнения Максвелла принимают компактный вид:

1. Гомогенные уравнения:

∂_λF_μν + ∂_μF_νλ + ∂_νF_λμ = 0.

Эта запись эквивалентна классическим уравнениям ∇ ⋅ B = 0 и $\nabla \times \mathbf{E} + \frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} = 0$.

2. Неоднородные уравнения:

$$ \partial^\mu F_{\mu\nu} = \frac{4\pi}{c} j_\nu, $$

где j_ν = (cρ, j) — 4-ток. Эти уравнения включают ∇ ⋅ E = 4πρ и $\nabla \times \mathbf{B} - \frac{1}{c}\frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t} = \frac{4\pi}{c} \mathbf{j}$.

Инварианты электромагнитного поля

Релятивистский подход позволяет строить скаляры, инвариантные относительно преобразований Лоренца, что имеет фундаментальное значение для физики частиц:

1. Первый инвариант:

I₁ = F_μνF^μν = 2(B² − E²).

2. Второй инвариант:

I₂ = F̃_μνF^μν = −4E ⋅ B,

где $\tilde{F}_{\mu\nu} = \frac{1}{2}\varepsilon_{\mu\nu\alpha\beta} F^{\alpha\beta}$ — двойственный тензор.

Эти инварианты позволяют различать различные типы электромагнитных полей:

• Чисто электрическое (B = 0)
• Чисто магнитное (E = 0)
• Волноподобное (E ⟂ B, |E| = |B|)

Энергия и импульс электромагнитного поля

Энергетический и импульсный перенос поля выражаются через тензор энергии-импульса:

$$ T^{\mu\nu} = \frac{1}{4\pi} \left( F^{\mu\alpha} F^\nu_{\ \alpha} - \frac{1}{4} \eta^{\mu\nu} F^{\alpha\beta} F_{\alpha\beta} \right). $$

Основные свойства:

• T⁰⁰ — плотность энергии поля.
• T⁰ⁱ — поток энергии, связанный с вектором Пойнтинга.
• T^ij — тензор напряжений, определяющий давление и напряжение поля.

Преобразования Лоренца

При переходе в другую инерциальную систему координат S′, движущуюся со скоростью v относительно S, тензор преобразуется как:

F′^μν = Λ _α^μΛ _β^νF^αβ,

где Λ _ν^μ — матрица преобразования Лоренца. Это позволяет рассматривать, например, смешение электрического и магнитного поля при переходе между системами отсчета.

Двойственный тензор электромагнитного поля

Двойственный тензор F̃_μν определяется через тензор Леви-Чивиты:

$$ \tilde{F}_{\mu\nu} = \frac{1}{2} \varepsilon_{\mu\nu\alpha\beta} F^{\alpha\beta}. $$

Его компоненты выражаются как:

F̃_0i = B_i,  F̃_ij = ε_ijkE_k.

Он особенно удобен для записи гомогенных уравнений Максвелла в компактной форме:

∂^μF̃_μν = 0.