Тензор энергии-импульса материи

Тензор энергии-импульса является фундаментальным объектом в релятивистской физике и общей теории относительности. Он описывает распределение энергии, импульса и напряжений в пространстве-времени, связанных с материальными полями и частицами. В отличие от классической механики, где энергия и импульс описываются скалярами и вектором, в релятивистской теории эти величины объединяются в симметричный тензор второго ранга, что обеспечивает корректное преобразование при переходе между различными системами отсчета.

Определение и свойства

Тензор энергии-импульса Tμν определяется как симметричный тензор второго ранга, компоненты которого в локальной системе координат имеют следующие физические значения:

T00 = плотность энергии,  T0i = плотность i-го компонента импульса,  Ti0 = плотность потока энергии в направлении i,  Tij = напряжения (силы) в пространстве.

Ключевые свойства тензора энергии-импульса:

  1. Симметрия:

Tμν = Tνμ

Симметричность обеспечивает соответствие законам сохранения углового момента.

  1. Закон сохранения энергии-импульса:

∇νTμν = 0

где ∇ν — ковариантная производная в пространстве-времени. Это выражение обобщает классический закон сохранения энергии и импульса на криволинейное пространство-время.

  1. Ковариантность: Тензор энергии-импульса преобразуется согласно правилам тензорной алгебры при переходе между различными системами координат, что гарантирует его физическую инвариантность.

Тензор энергии-импульса идеальной жидкости

Наиболее часто рассматриваемый пример — идеальная жидкость, у которой отсутствуют вязкость и теплопроводность. Тензор энергии-импульса идеальной жидкости записывается как:

Tμν = (ε + p)uμuν − pgμν,

где:

  • ε — плотность энергии в системе покоя жидкости,
  • p — изотропное давление,
  • uμ — 4-скорость жидкости,
  • gμν — метрический тензор пространства-времени.

Физический смысл компонентов:

  • T00 = ε — энергия на единицу объема в системе покоя,
  • T0i = (ε + p)u0ui — поток i-го компонента импульса,
  • Tij = (ε + p)uiuj − pgij — компоненты тензора напряжений.

Тензор энергии-импульса электромагнитного поля

Для электромагнитного поля тензор энергии-импульса имеет вид:

$$ T^{\mu\nu} = \frac{1}{\mu_0} \left( F^{\mu\lambda} F^\nu_{\;\;\lambda} - \frac{1}{4} g^{\mu\nu} F_{\alpha\beta} F^{\alpha\beta} \right), $$

где:

  • Fμν — тензор электромагнитного поля,
  • μ0 — магнитная постоянная.

Важные особенности:

  • $T^{00} = \frac{1}{2} (\varepsilon_0 E^2 + \frac{1}{\mu_0} B^2)$ — плотность энергии электромагнитного поля,
  • T0i = c Si, где Si — компоненты вектора Пойнтинга, описывающие поток энергии,
  • Tij — компоненты Максвелловского тензора напряжений.

Связь с гравитацией

В общей теории относительности тензор энергии-импульса выступает источником кривизны пространства-времени. Уравнения Эйнштейна связывают геометрию пространства-времени с распределением материи через тензор Эйнштейна Gμν:

$$ G^{\mu\nu} = \frac{8\pi G}{c^4} T^{\mu\nu}. $$

Таким образом, любой вид материи или поля, описываемый своим тензором энергии-импульса, определяет искривление пространства-времени, влияя на движение других тел и распространение света.

Консервационные законы и интегральные формулировки

Из уравнения ∇νTμν = 0 следуют интегральные законы сохранения:

$$ \frac{d}{dt} \int_V T^{0\mu} \sqrt{-g} \, d^3x + \oint_{\partial V} T^{i\mu} \sqrt{-g} \, dS_i = 0, $$

где $\sqrt{-g}$ — детерминант метрического тензора. Этот интеграл выражает сохранение полной энергии и импульса в объеме V, учитывая поток через поверхность ∂V.

Тензоры энергии-импульса в различных физических системах

  1. Газ идеальных частиц: компоненты тензора вычисляются через средние значения скоростей и плотности частиц.
  2. Спиновые поля (фермионы): учитывают дополнительные вклады, связанные со спином.
  3. Квантовые поля: тензор энергии-импульса определяется вариацией действия по метрическому тензору, что обеспечивает универсальность формализма.

Заключение по значению тензора

Тензор энергии-импульса является центральной величиной релятивистской физики. Он объединяет концепции энергии, импульса и напряжений, обеспечивает формулировку законов сохранения в любом гравитационном или криволинейном пространстве-времени и служит источником взаимодействия материи с геометрией. Его структура позволяет рассматривать разнообразные физические системы — от идеальной жидкости до электромагнитного и квантового поля — в едином тензорном формализме, что делает его незаменимым инструментом в общей теории относительности и современной теоретической физике.

Оглавление