Тензор кривизны Римана

Тензор кривизны Римана является фундаментальным объектом в релятивистской физике и общей теории относительности. Он характеризует локальную геометрическую структуру пространства-времени и описывает, как кривизна влияет на движение материальных точек и распространение полей. Формально тензор кривизны определяется через коммутатор ковариантных производных:

R _σμν^ρ V^σ = (∇_μ∇_ν − ∇_ν∇_μ)V^ρ,

где V^ρ — вектор в касательном пространстве, ∇_μ — ковариантная производная по координате x^μ. Этот тензор является мерой того, насколько некоммутативны ковариантные производные в криволинейном пространстве-времени.

---

Симметрии и свойства тензора Римана

Тензор Римана обладает рядом важных симметрий, которые существенно сокращают число его независимых компонентов:

1. Антисимметрия по последним двум индексам:

R _σμν^ρ = −R _σνμ^ρ.

2. Антисимметрия по первым двумя индексам при поднятии нижнего индекса:

R_ρσμν = −R_σρμν.

3. Симметрия при обмене пар индексов:

R_ρσμν = R_μνρσ.

4. Первое тождество Бьянки:

R_ρ[σμν] = R_ρσμν + R_ρμνσ + R_ρνσμ = 0.

Эти симметрии играют ключевую роль в формулировке уравнений Эйнштейна и в вычислениях кривизны в различных метриках.

---

Выражение через символы Кристоффеля

Для практических вычислений тензор Римана удобно записывать через символы Кристоффеля Γ_μν^ρ:

$$ R^\rho_{\ \sigma\mu\nu} = \partial_\mu \Gamma^\rho_{\nu\sigma} - \partial_\nu \Gamma^\rho_{\му\sigma} + \Gamma^\rho_{\mu\lambda}\Gamma^\lambda_{\nu\sigma} - \Gamma^\rho_{\nu\lambda}\Gamma^\lambda_{\mu\sigma}. $$

Здесь ∂_μ — частная производная по координате x^μ. Это выражение показывает, что тензор Римана полностью определяется метрикой g_μν и её производными второго порядка.

---

Геометрическая интерпретация

Тензор Римана описывает изменение вектора при параллельном переносе по замкнутому контуру. Для малой криволинейной петли δx^μδx^ν отклонение вектора V^ρ от начального положения выражается как:

δV^ρ = R _σμν^ρV^σδx^μδx^ν.

Таким образом, наличие ненулевого тензора Римана означает, что пространство-время является криволинейным, а не плоским, и геодезические линии, которые в плоском пространстве были бы параллельны, могут сходиться или расходиться.

---

Связь с тензором Риччи и скаляром кривизны

Сокращение тензора Римана по индексам приводит к тензору Риччи:

R_μν = R _μλν^λ,

который является ключевым компонентом уравнений Эйнштейна. Полный скаляр кривизны определяется как:

R = g^μνR_μν.

Тензор Риччи и скаляр кривизны дают более компактное описание геометрии и позволяют формулировать динамику гравитационного поля через уравнения Эйнштейна.

---

Примеры в конкретных метриках

1. Метрика Шварцшильда: В сферически симметричном статическом поле вокруг массы M ненулевые компоненты тензора Римана описывают кривизну, ответственную за орбитальное движение планет и искривление света.

2. Метрика Фридмана–Леметра–Робертсона–Уокера: В космологии тензор Римана определяет кривизну пространства-времени в зависимости от плотности энергии и давления вещества, что связано с расширением Вселенной.

---

Практическое вычисление

Для вычисления компонентов тензора Римана в конкретной метрике выполняют следующие шаги:

1. Вычисляют символы Кристоффеля через метрику:

$$ \Gamma^\rho_{\mu\nu} = \frac{1}{2} g^{\rho\sigma} \left( \partial_\mu g_{\nu\sigma} + \partial_\nu g_{\mu\sigma} - \partial_\sigma g_{\mu\nu} \right). $$

2. Подставляют символы в формулу для R _σμν^ρ.

3. Используют симметрии тензора для сокращения количества вычислений.

Эти шаги являются стандартной процедурой при анализе гравитационных полей в общей теории относительности.