Гравитационные волны — это возмущения метрики пространства-времени, распространяющиеся со скоростью света, предсказанные общей теорией относительности Эйнштейна. В линейной аппроксимации, когда поле отклоняется от метрики Минковского ημν малым образом hμν, такое что |hμν| ≪ 1, полная метрика имеет вид:
gμν = ημν + hμν.
Линейная теория рассматривает только первые члены разложения по hμν, что позволяет получить простые волновые решения уравнений Эйнштейна.
В линейном приближении тензор кривизны Римана и связанный с ним тензор Эйнштейна упрощаются. Используя калибровку Лоренца (или гармоническую калибровку), определяемые условия:
$$ \partial^\nu \bar{h}_{\mu\nu} = 0, \quad \text{где} \quad \bar{h}_{\mu\nu} = h_{\mu\nu} - \frac{1}{2} \eta_{\mu\nu} h^\lambda_\lambda, $$
уравнения Эйнштейна в вакууме сводятся к волновому уравнению:
□h̄μν = 0,
где □ = ηαβ∂α∂β — д’Аламбертова оператор.
Ключевой момент: в линейном приближении гравитационные волны удовлетворяют уравнению обычной волны в плоском пространстве-времени, что делает возможным аналитическое изучение их свойств.
Гравитационные волны имеют два независимых состояния поляризации, часто обозначаемых h+ и h×. Эти поляризации соответствуют двум степеням свободы тензора hμν, удовлетворяющим условиям:
В случае волны, распространяющейся вдоль оси z, компоненты тензора в поперечной плоскости xy записываются в виде:
$$ h_{ij}(t, z) = \begin{pmatrix} h_+ & h_\times \\ h_\times & -h_+ \end{pmatrix} \cos(k z - \omega t). $$
Ключевой момент: два состояния поляризации гравитационной волны аналогичны линейным независимым модам колебаний упругой мембраны, но действуют на метрические деформации пространства-времени.
В линейной теории можно определить эффективный тензор энергии-импульса гравитационного поля:
$$ t_{\mu\nu}^{GW} = \frac{c^4}{32\pi G} \langle \partial_\mu h_{ij} \partial_\nu h^{ij} \rangle, $$
где угловые скобки обозначают усреднение по времени или пространству. Этот тензор позволяет вычислять поток энергии гравитационных волн через поверхность:
$$ \frac{dE}{dA\,dt} = c\, t_{0i}^{GW} n^i. $$
Ключевой момент: несмотря на то, что гравитационное поле не имеет локализованной энергии в строгом смысле, в линейном приближении можно корректно определить среднюю энергию, переносимую волнами.
Для медленно движущихся источников (скорости v ≪ c) с квадрупольным моментом массы Qij выражение для амплитуды гравитационной волны в дальнем поле:
$$ h_{ij}^{TT}(t, \mathbf{r}) = \frac{2G}{c^4 r} \frac{d^2 Q_{ij}^{TT}}{dt^2}\Big|_{t - r/c}, $$
где TT — проекция на поперечно-трасверсальную часть.
Пример: бинарная система двух массивных тел, вращающихся вокруг общего центра масс, является классическим источником линейных гравитационных волн с частотой, в два раза превышающей частоту обращения.
Ключевой момент: линейная теория предсказывает амплитуду и форму волн, наблюдаемых детекторами типа LIGO и Virgo, для которых эффект гравитационного растяжения пространства-времени чрезвычайно мал (h ∼ 10−21).
Линейные гравитационные волны подчиняются принципу суперпозиции. Для нескольких источников поле складывается:
hμν = ∑ihμν(i).
В вакууме волны распространяются без диссипации и могут интерферировать. Применение теории интерференции позволяет моделировать сложные конфигурации сигналов, возникающих при слияниях черных дыр и нейтронных звезд.
Ключевой момент: линейная аппроксимация даёт основу для понимания наблюдаемых сигналов и их анализа через преобразования Фурье, что является фундаментом современной гравитационно-волновой астрономии.
Тем не менее линейная теория является эффективным инструментом для предсказания гравитационных волн, зарегистрированных современными экспериментами, и служит отправной точкой для нелинейных численных моделей.