Уравнения Максвелла в четырехмерной форме

В релятивистской физике электромагнитное поле удобно описывать с использованием четырехмерной (тензорной) формулировки, которая объединяет электрическое и магнитное поля в единый объект — тензор электромагнитного поля F^μν. Это позволяет уравнениям Максвелла сохранять одинаковую форму при любых преобразованиях Лоренца и делает их совместимыми с принципом относительности.

---

Четырехмерные координаты и четырехпотенциал

Вместо привычных трёх координат r = (x, y, z) и времени t вводится четырехмерный координатный вектор:

x^μ = (ct, x, y, z),  μ = 0, 1, 2, 3

где c — скорость света. Четырехпотенциал электромагнитного поля A^μ объединяет скалярный потенциал φ и векторный потенциал A:

$$ A^\mu = \left(\frac{\varphi}{c}, \mathbf{A}\right) $$

---

Тензор электромагнитного поля

Электромагнитное поле описывается антисимметричным тензором второго ранга F^μν, который определяется через четырехпотенциал:

F^μν = ∂^μA^ν − ∂^νA^μ

где $\partial^\mu = \frac{\partial}{\partial x_\mu}$ — четырехмерная производная.

Структура тензора:

$$ F^{\mu\nu} = \begin{pmatrix} 0 & -E_x/c & -E_y/c & -E_z/c \\ E_x/c & 0 & -B_z & B_y \\ E_y/c & B_z & 0 & -B_x \\ E_z/c & -B_y & B_x & 0 \end{pmatrix} $$

• Компоненты F⁰ⁱ = −E_i/c связаны с электрическим полем.
• Компоненты F^ij = −ϵ_ijkB_k связаны с магнитным полем.
• Симметрия и антисимметрия тензора обеспечивает согласованность преобразований Лоренца.

---

Четырехмерные уравнения Максвелла

Используя тензор F^μν, уравнения Максвелла сводятся к двум компактным тензорным равенствам.

1. Гомогенные уравнения:

∂_λF_μν + ∂_μF_νλ + ∂_νF_λμ = 0

Эти уравнения включают закон Фарадея и отсутствие магнитных монополей (∇ ⋅ B = 0).

2. Неоднородные уравнения:

$$ \partial_\nu F^{\mu\nu} = \frac{4\pi}{c} J^\mu $$

где J^μ = (cρ, J) — четырехток, объединяющий плотность заряда ρ и плотность тока J. Эти уравнения описывают источник поля: заряды и токи.

---

Инварианты электромагнитного поля

Тензорная форма позволяет легко определить скалярные инварианты, которые сохраняются при преобразованиях Лоренца:

1. Первый инвариант:

$$ I_1 = F_{\mu\nu} F^{\mu\nu} = 2\left(B^2 - \frac{E^2}{c^2}\right) $$

2. Второй инвариант:

$$ I_2 = \tilde{F}_{\mu\nu} F^{\mu\nu} = -\frac{4}{c} \mathbf{E} \cdot \mathbf{B} $$

где $\tilde{F}^{\mu\nu} = \frac{1}{2} \epsilon^{\mu\nu\alpha\beta} F_{\alpha\beta}$ — двойственный тензор. Эти инварианты используются для классификации поля и анализа его свойств в различных системах отсчета.

---

Лагранжиан электромагнитного поля

Релятивистская теория поля строится на лагранжиане:

$$ \mathcal{L} = -\frac{1}{16\pi} F_{\mu\nu} F^{\mu\nu} - \frac{1}{c} J_\mu A^\mu $$

• Первый член описывает свободное электромагнитное поле.
• Второй член отвечает за взаимодействие с зарядами.

Применение принципа наименьшего действия к этому лагранжиану напрямую приводит к тензорным уравнениям Максвелла.

---

Преобразования Лоренца

Под действием преобразования Лоренца Λ _ν^μ:

x′^μ = Λ _ν^μx^ν,  F′^μν = Λ _α^μΛ _β^νF^αβ

тензор F^μν сохраняет свою форму, что демонстрирует ковариантность уравнений Максвелла. Это гарантирует, что физические законы электродинамики одинаковы во всех инерциальных системах отсчета.

---

Преимущества четырехмерной формы

• Объединяет электрические и магнитные поля в единый объект.
• Позволяет компактно записывать все четыре уравнения Максвелла.
• Делает очевидной связь электромагнитного поля с релятивистской симметрией пространства-времени.
• Облегчает переход к квантовой электродинамике и к общей теории относительности.