В релятивистской физике события описываются в четырехмерном пространстве-времени (модель Минковского), где координаты точки задаются четырьмя числами: xμ = (ct, x, y, z), где c — скорость света, t — время, а x, y, z — пространственные координаты. Индекс μ пробегает значения 0, 1, 2, 3, где x0 = ct.
Пространство Минковского обладает метрикой с сигнатурой (−,+,+,+), которая задаёт интервал между событиями:
ds2 = −c2dt2 + dx2 + dy2 + dz2 = ημνdxμdxν,
где ημν — метрический тензор Минковского:
$$ \eta_{\mu\nu} = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}. $$
Интервал ds2 инвариантен относительно преобразований Лоренца, что является ключевым принципом релятивистской физики.
Четырехвектор Aμ — это объект, который при преобразованиях Лоренца трансформируется линейно:
A′μ = Λ νμAν,
где Λ νμ — матрица преобразования Лоренца.
Примеры четырехвекторов:
Скалярное произведение двух четырехвекторов определяется через метрический тензор:
A ⋅ B = ημνAμBν = −A0B0 + A1B1 + A2B2 + A3B3.
Скалярное произведение инвариантно относительно преобразований Лоренца.
В релятивистской физике важно различать вектор с верхними индексами Aμ и ковектор (вектор с нижними индексами) Aμ. Связь между ними задается метрическим тензором:
Aμ = ημνAν, Aμ = ημνAν.
Пример:
uμ = ημνuν = (−γc, γv).
Это позволяет корректно вычислять скалярные произведения и производные в четырехмерном пространстве.
Преобразования Лоренца сохраняют интервал ds2:
x′μ = Λ νμxν, ημνΛ αμΛ βν = ηαβ.
Векторные уравнения, записанные через четырехвекторы, ковариантны: их форма не меняется при переходе к любой инерциальной системе отсчета.
Пример преобразования вдоль оси x:
$$ \begin{cases} x' = \gamma(x - vt) \\ t' = \gamma(t - vx/c^2) \end{cases}, \quad \gamma = \frac{1}{\sqrt{1-v^2/c^2}}. $$
В четырехмерном пространстве-времени вводят четырехмерный оператор дифференцирования (четырехградиент):
$$ \partial_\mu = \frac{\partial}{\partial x^\mu} = \left( \frac{1}{c}\frac{\partial}{\partial t}, \nabla \right), \quad \partial^\mu = \eta^{\mu\nu} \partial_\nu = \left( -\frac{1}{c}\frac{\partial}{\partial t}, \nabla \right). $$
С его помощью удобно записывать волновое уравнение и законы сохранения в релятивистской форме.
Даламберов оператор (четырехмерный лапласиан):
$$ \Box = \partial_\mu \partial^\mu = -\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2} + \nabla^2. $$
Применение: уравнение движения релятивистских полей:
□ϕ = 0 (волновое уравнение).
Законы сохранения (импульса, энергии, заряда) удобно записывать через четырехвекторы тока:
Jμ = (cρ, J),
где ρ — плотность заряда, J — трехмерная плотность тока. Условие сохранения заряда в релятивистской форме:
∂μJμ = 0.
Это компактная и инвариантная запись, полностью совместимая с преобразованиями Лоренца.
Энергия и импульс частицы формируют четырехвектор импульса:
$$ p^\mu = \left( \frac{E}{c}, \mathbf{p} \right), \quad p_\mu p^\mu = -m^2 c^2. $$
Раскладывая:
−(E/c)2 + p2 = −m2c2 ⇒ E2 = p2c2 + m2c4.
Эта формула является фундаментальной в релятивистской механике.
(A + B)μ = Aμ + Bμ, (αA)μ = αAμ.
Скалярное произведение: A ⋅ B = ημνAμBν, инвариантное относительно преобразований Лоренца.
Нормализация четырехвекторов: