Волновые решения уравнений Эйнштейна представляют собой возмущения метрики пространства-времени, распространяющиеся со скоростью света в вакууме. Для исследования таких решений вводится концепция линеаризованной гравитации, где метрика gμν представляется в виде малых возмущений hμν на фоне плоской метрики Минковского ημν:
gμν = ημν + hμν, |hμν| ≪ 1
При этом учитываются только члены первого порядка по hμν. Линеаризация позволяет свести сложные нелинейные уравнения Эйнштейна к относительно простым волновым уравнениям:
$$ \square \bar{h}_{\mu\nu} = -\frac{16 \pi G}{c^4} T_{\mu\nu}, $$
где ▫ — д’Аламберов оператор в пространстве Минковского, а h̄μν — редуцированное возмущение, удовлетворяющее условию Лоренца:
∂νh̄μν = 0.
В вакууме (Tμν = 0) это уравнение принимает вид классического волнового уравнения:
▫h̄μν = 0,
что свидетельствует о существовании свободных гравитационных волн.
Гравитационные волны являются трансверсальными: колебания метрики происходят в направлениях, перпендикулярных направлению распространения волны. В координатной системе, где волна распространяется вдоль оси z, возмущение hμν можно привести к форме:
$$ h_{\mu\nu} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & h_+ & h_\times & 0 \\ 0 & h_\times & -h_+ & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \cos(\omega t - k z), $$
где h+ и h× — амплитуды двух независимых поляризаций. Эти поляризации обозначаются как «плюс» и «крест», и каждая влияет на растяжение и сжатие пространственных интервалов в различных направлениях.
Гравитационные волны порождаются временными изменениями квадрупольного момента массы системы. В отличие от электромагнитных волн, которые связаны с дипольным моментом заряда, гравитационные волны не имеют дипольного излучения в случае изолированной системы, из-за сохранения импульса. Основная формула для генерации слабых гравитационных волн в дальнем поле имеет вид:
$$ h_{ij}^{TT}(t, \mathbf{r}) = \frac{2G}{c^4 r} \frac{d^2 Q_{ij}^{TT}}{dt^2}\Big|_{t - r/c}, $$
где QijTT — квадрупольный момент масс в трансверсально-трасверсальной (TT) проекции, r — расстояние до наблюдателя, а производная берется по времени с задержкой r/c.
Примерами источников являются:
Гравитационные волны переносят энергию и импульс. Плотность потока энергии для слабых волн определяется тензором энергии в линеаризованной теории:
$$ \langle T_{\mu\nu}^{\text{GW}} \rangle = \frac{c^4}{32 \pi G} \langle \partial_\mu h_{ij}^{TT} \partial_\nu h^{TT}_{ij} \rangle. $$
На практике наблюдение гравитационных волн осуществляется через измерение малых деформаций пространственных интервалов:
$$ \frac{\Delta L}{L} \sim h \sim 10^{-21} \text{ для космических источников}. $$
Современные детекторы, такие как LIGO и Virgo, используют интерферометры с длинными плечами, способные фиксировать столь крошечные растяжения и сжатия.
В классической линейной аппроксимации выбирают гармоническую (де Дондер) калибровку:
∂νh̄μν = 0.
Это упрощает уравнения до вида:
▫hμν = 0,
и позволяет рассматривать волновые решения в виде плоских волн или сферических волн. Сферические волны удобны для анализа дальнего поля источников:
$$ h_{\mu\nu} \sim \frac{f_{\mu\nu}(t - r/c)}{r}. $$
С уменьшением амплитуды с расстоянием ∼ 1/r сохраняется способность передавать энергию на большие расстояния.
Хотя линейная теория хорошо описывает большинство наблюдаемых сигналов, вблизи массивных источников проявляются нелинейные эффекты:
Такие эффекты учитываются в численных симуляциях с использованием полной нелинейной общей теории относительности.
Гравитационные волны вызывают колебания геодезических. Для двух близко расположенных точек с координатами xi и xi + ξi уравнение геодезического отклонения имеет вид:
$$ \frac{d^2 \xi^i}{dt^2} = - R^i_{\ 0 j 0} \, \xi^j, $$
где R 0j0i — компоненты тензора Римана. Для плоской волны в TT-калибровке наблюдаются характерные поперечные растяжения и сжатия, согласующиеся с поляризацией h+ и h×.
Волновые решения ОТО формируют фундаментальную основу для теории гравитационного излучения. Они демонстрируют, что кривизна пространства-времени может распространяться, перенося энергию, импульс и информацию о динамике массивных объектов на огромные расстояния. Современные наблюдения гравитационных волн открыли новую астрономическую отрасль, позволив напрямую исследовать экстремальные явления во Вселенной.