Вывод уравнений Эйнштейна

В релятивистской физике гравитация описывается не как сила в привычном ньютоновском смысле, а как свойство кривизны пространства-времени. Центральным объектом является метрический тензор g_μν, который определяет интервалы между событиями:

ds² = g_μνdx^μdx^ν

где ds — инфинитезимальный интервал, dx^μ — координатный дифференциал, а индексы μ, ν пробегают значения 0,1,2,3 (временная и три пространственные координаты).

Метрический тензор не только определяет геометрию пространства-времени, но и служит ключевым объектом для построения тензоров кривизны, описывающих гравитационное поле.

---

Кривизна пространства-времени: тензор Римана

Тензор Римана R _σμν^ρ описывает локальную кривизну пространства-времени:

R _σμν^ρ = ∂_μΓ_νσ^ρ − ∂_νΓ_μσ^ρ + Γ_μλ^ρΓ_νσ^λ − Γ_νλ^ρΓ_μσ^λ

где Γ_μν^ρ — кристоффелевы символы, определяемые через метрический тензор:

$$ \Gamma^\rho_{\mu\nu} = \frac{1}{2} g^{\rho\lambda} \left( \partial_\mu g_{\lambda\nu} + \partial_\nu g_{\lambda\mu} - \partial_\lambda g_{\mu\nu} \right) $$

Тензор Римана имеет свойства антисимметрии по определённым индексам и удовлетворяет тождествам Бьянки, которые играют ключевую роль в формулировке уравнений Эйнштейна.

---

Тензор Риччи и скаляр кривизны

Для построения уравнений гравитационного поля из тензора Римана формируют тензор Риччи R_μν путем сведения индексов:

R_μν = R _μλν^λ

Он является симметричным: R_μν = R_νμ и содержит сокращённую информацию о кривизне, достаточную для описания влияния материи на пространство-время.

Скаляр кривизны R — это полное сведение тензора Риччи:

R = g^μνR_μν

Он характеризует среднюю кривизну в данной точке пространства-времени.

---

Энергетически-импульсный тензор

Материю и энергию в релятивистской физике описывает тензор энергетического импульса T_μν. Он включает плотность энергии, плотность импульса и напряжения:

$$ T_{\mu\nu} = \begin{pmatrix} \rho & S_1 & S_2 & S_3 \\ S_1 & \sigma_{11} & \sigma_{12} & \sigma_{13} \\ S_2 & \sigma_{21} & \sigma_{22} & \sigma_{23} \\ S_3 & \sigma_{31} & \sigma_{32} & \sigma_{33} \end{pmatrix} $$

где ρ — плотность энергии, S_i — компоненты потока энергии, σ_ij — компоненты напряжения.

Важное свойство: ∇^μT_μν = 0, что выражает закон сохранения энергии и импульса в искривлённом пространстве-времени.

---

Постановка задачи: связь кривизны и материи

Основная идея Эйнштейна — гравитация есть геометрический эффект, а материи и энергии соответствуют источники кривизны. Иными словами, необходимо найти тензор G_μν, который бы описывал кривизну, и который удовлетворял бы условию сохранения:

∇^μG_μν = 0

Это условие обязательно для согласования с законом сохранения энергии и импульса.

---

Построение тензора Эйнштейна

Эйнштейн вводит тензор Эйнштейна как комбинацию тензора Риччи и скаляра кривизны:

$$ G_{\mu\nu} = R_{\mu\nu} - \frac{1}{2} g_{\mu\nu} R $$

Он обладает свойствами:

1. Симметричность: G_μν = G_νμ
2. Дивергентная свободность: ∇^μG_μν = 0

Эти свойства делают G_μν идеальным кандидатом для связи с энергетическим тензором:

G_μν = κT_μν

где κ — константа пропорциональности, которая определяется из предела слабого поля: $\kappa = \frac{8 \pi G}{c^4}$.

---

Полные уравнения Эйнштейна

С учётом космологической постоянной Λ, уравнения Эйнштейна приобретают вид:

$$ R_{\mu\nu} - \frac{1}{2} g_{\mu\nu} R + \Lambda g_{\mu\nu} = \frac{8 \pi G}{c^4} T_{\mu\nu} $$

• R_μν — тензор Риччи, описывает кривизну
• R — скаляр кривизны, усреднённая мера искривления
• g_μν — метрический тензор
• T_μν — тензор энергии и импульса материи
• Λ — космологическая постоянная

Эти уравнения образуют систему десяти независимых нелинейных дифференциальных уравнений относительно метрического тензора.

---

Связь с ньютоновской гравитацией

В слабополевом и стационарном пределе (|v| ≪ c, |Φ| ≪ c²) уравнения Эйнштейна сводятся к ньютоновскому закону гравитации:

∇²Φ = 4πGρ

где Φ — ньютоновский потенциал, а ρ — плотность массы. Этот переход обеспечивает совместимость с классической физикой.

---

Особенности уравнений Эйнштейна

1. Нелинейность: кривизна влияет на распределение энергии, что в свою очередь изменяет кривизну.
2. Ковариантность: форма уравнений не зависит от системы координат.
3. Связь с геодезическими линиями: частицы в свободном падении движутся по геодезическим пространства-времени, которые определяются метрическим тензором, найденным из уравнений Эйнштейна.

Эти свойства делают уравнения Эйнштейна фундаментальными для описания динамики гравитационного поля и структуры Вселенной.