Законы сохранения в общей теории относительности

1. Общая постановка проблемы сохранения

В классической механике и в специальной теории относительности (СТО) законы сохранения энергии, импульса и момента импульса имеют фундаментальное значение и выражаются через интегральные величины, которые остаются постоянными во времени в замкнутой системе. В общей теории относительности (ОТО) ситуация существенно сложнее: пространство-время становится динамическим объектом, взаимодействующим с материей через кривизну. Вследствие этого традиционные понятия глобально сохраняемых величин теряют прямой смысл.

Ключевой момент: В ОТО нет общего закона глобального сохранения энергии в том виде, в каком он существует в ньютоновской механике. Это связано с отсутствием глобальной симметрии времени в произвольном кривом пространстве-времени.

2. Энергия и импульс в локальной форме

Вместо глобальных законов сохранения вводятся локальные выражения, основанные на тензоре энергии-импульса T^μν материи. В дифференциальной форме локальное сохранение записывается через ковариантную дивергенцию тензора энергии-импульса:

∇_νT^μν = 0.

Здесь ∇_ν — ковариантная производная, учитывающая кривизну пространства-времени. Эта формула отражает локальное сохранение энергии и импульса: в каждой бесконечно малой области пространства-времени поток энергии-импульса сбалансирован, и не возникает «самопроизвольного» изменения.

Ключевой момент: В кривом пространстве-времени понятие энергии и импульса локализуется, а их глобальная интегральная форма зависит от симметрий конкретного решения уравнений Эйнштейна.

3. Псевдотензоры энергии гравитационного поля

Поскольку гравитационное поле в ОТО не имеет локального тензора энергии-импульса, вводятся псевдотензоры энергии-импульса гравитационного поля, например, тензор Эйнштейна:

$$ t^{\mu\nu} = \frac{1}{16\pi G} \left(\Gamma^\mu_{\alpha\beta} \Gamma^{\nu\,\alpha\beta} - \ldots \right), $$

где Γ_αβ^μ — символы Кристоффеля. Псевдотензор позволяет формально записать закон «сохранения» в виде дивергенции обычной производной:

$$ \partial_\nu \left( \sqrt{-g} (T^{\mu\nu} + t^{\mu\nu}) \right) = 0. $$

Однако важно помнить, что псевдотензоры зависят от координатной системы и не являются тензорами, что ограничивает их физический смысл.

Ключевой момент: Псевдотензоры дают возможность вычислять глобальные величины энергии и импульса для асимптотически плоских пространств-времени, но не имеют универсального, независимого от координат значения.

4. Связь с симметриями и теоремой Нётер

В ОТО законы сохранения тесно связаны с симметриями пространства-времени, согласно теореме Нётер:

Если пространство-время имеет временную изометрическую симметрию (векторное поле Киллинга), существует консервативная энергия.
Если имеются пространственные изометрии, существуют сохраняемые компоненты импульса и момента импульса.

Пример: для асимптотически плоского пространства-времени на бесконечности можно определить энергию Арновитта–Дезера–Миснера (ADM) и импульс системы, используя соответствующие векторные поля Киллинга.

Ключевой момент: Законы сохранения в ОТО — это локальные уравнения, глобальные консервативные величины возникают только при наличии специфических симметрий.

5. Энергия и импульс гравитационных волн

Гравитационные волны переносят энергию и импульс, однако локально их «энергия» не может быть выражена через тензор в строгом смысле. Обычно используют усреднённые по периоду псевдотензоры, например, тензор Исаака–Ландау–Лифшица, чтобы определить поток энергии:

$$ \langle t^{\mu\nu} \rangle \sim \frac{c^4}{32\pi G} \langle \partial_\mu h_{\alpha\beta} \partial_\nu h^{\alpha\beta} \rangle, $$

где h_αβ — возмущения метрики. Это позволяет рассчитать энергию, излучаемую системами, такими как двойные пульсары, и сравнивать с наблюдениями.

6. Законы сохранения момента импульса

Момент импульса описывается через антисимметрический тензор:

J^μν = ∫(x^μT^0ν − x^νT^0μ)d³x.

Если система обладает пространственной изометрией (например, осевой симметрией), интеграл сохраняется во времени. В общем случае, без симметрий, глобального сохранения момента импульса нет, но локальные соотношения дивергенции сохраняются.

7. Практические последствия

В астрофизике и космологии для анализа энергобаланса используют асимптотические энергии: ADM, Bondi, Komar.
Для гравитационных волн вводятся усреднённые потоки энергии.
Локальные законы сохранения через ∇_νT^μν = 0 используются для расчёта движения материи и динамики компактных объектов.

Ключевой момент: В ОТО законы сохранения имеют двойственную природу — строгие локальные уравнения через ковариантную дивергенцию и координатно-зависимые глобальные выражения через псевдотензоры или асимптотические методы.