Ферромагнетизм и модель Гейзенберга

Ферромагнетизм — это квантовомеханическое явление, при котором спины электронов в материале стремятся выстраиваться параллельно друг другу, создавая макроскопическое спонтанное магнитное упорядочение. В отличие от парамагнитных систем, где магнитные моменты ориентированы хаотически, в ферромагнитных веществах существует сильное обменное взаимодействие между соседними спинами, приводящее к образованию доменов с однородной намагниченностью.

Ключевым фактором является обменное взаимодействие, которое возникает из-за принципа запрета Паули и кулоновского отталкивания. В ферромагнитных материалах энергия системы минимизируется, когда спины соседних электронов ориентированы параллельно. Это взаимодействие можно описать с помощью модели Гейзенберга, которая позволяет формализовать квантовую природу магнитного упорядочения.

Модель Гейзенберга

Модель Гейзенберга формулируется через гамильтониан обменного взаимодействия между спинами соседних атомов:

$$ \hat{H} = - \sum_{\langle i,j \rangle} J_{ij} \, \hat{\mathbf{S}}_i \cdot \hat{\mathbf{S}}_j $$

где:

  • $\hat{\mathbf{S}}_i$ — оператор спина на i-том атоме,
  • Jij — константа обменного взаимодействия между спинами i и j,
  • сумма берется по парам соседних спинов ⟨i, j⟩.

Ключевые моменты:

  1. Знак Jij определяет тип магнитного порядка:

    • Jij > 0 — ферромагнетизм (спины стремятся выстроиться параллельно),
    • Jij < 0 — антиферромагнетизм (спины ориентируются антипараллельно).

  2. Квантовая природа спина: Спины являются квантовыми объектами с дискретными значениями S = 1/2, 1, 3/2, …, что приводит к конечному числу проекций на ось z: ms = −S, −S + 1, ..., S.

  3. Энергетические уровни системы: Для двух спинов S = 1/2 гамильтониан упрощается:

$$ \hat{H} = - J \, \hat{\mathbf{S}}_1 \cdot \hat{\mathbf{S}}_2 = -\frac{J}{2} \left( \hat{S}^2 - \hat{S}_1^2 - \hat{S}_2^2 \right) $$

где Ŝ = Ŝ1 + Ŝ2 — оператор полного спина. Энергетические состояния раскладываются на синглетное и триплетное состояние, различающиеся энергией:

$$ E_{\text{триплет}} = - \frac{J}{4}, \quad E_{\text{синглет}} = \frac{3J}{4} $$

Термодинамика ферромагнитной системы

При рассмотрении макроскопического ферромагнетика важно учитывать тепловое движение спинов. Температурное поведение описывается через температуру Кюри TC — критическую температуру, выше которой ферромагнитный порядок разрушается и материал переходит в парамагнитное состояние.

Молекулярное поле Вейсса

Чтобы учесть коллективное взаимодействие в системе большого числа спинов, вводится концепция внутреннего молекулярного поля:

Bмол = λM

где λ — константа пропорциональности, M — намагниченность. В этом приближении уравнение намагниченности имеет вид:

$$ M = N g \mu_B S B_S \left( \frac{g \mu_B S (B + \lambda M)}{k_B T} \right) $$

где BS(x) — функция Брунена. Это уравнение позволяет вычислять температурную зависимость намагниченности и объяснять существование спонтанной намагниченности при T < TC.

Ферромагнитные домены

Доменная структура формируется для минимизации энергии системы. Основные составляющие энергии:

  1. Энергия обменного взаимодействия — стремление спинов выравниваться параллельно.
  2. Энергия магнитной анизотропии — предпочтительная ориентация магнитного момента относительно кристаллографических осей.
  3. Энергия магнитного поля (демагнитизационная энергия) — стремление уменьшить магнитное поле вне образца.

Доменная структура обеспечивает уменьшение внешнего магнитного поля и стабилизацию макроскопической системы.

Квантовые эффекты и возбуждения

Ферромагнетизм описывается не только статическим расположением спинов, но и их динамикой:

  • Магнитные флуктуации приводят к образованию магнонов — квазичастиц, описывающих коллективные колебания спинов.
  • Энергия магнонов зависит от квазимомента k и выражается дисперсионной зависимостью ε(k), которая для простых кубических решеток имеет вид:

ε(k) ≈ Dk2,  k → 0

где D — коэффициент жесткости спиновой волны.

  • Спиновые волны объясняют снижение намагниченности при повышении температуры (закон Блоха: M(T) ∼ M(0) − const ⋅ T3/2 при низких T).

Модель Гейзенберга в современных приложениях

Современная спинтроника активно использует фундаментальные принципы модели Гейзенберга для описания:

  1. Гигантского магнитосопротивления (GMR) — влияние спиновой ориентации на проводимость.
  2. Спин-транзисторов и магнетосенсоров — управление током с помощью спина.
  3. Квантовых вычислителей — использование коллективных спиновых состояний для кодирования квантовой информации.

Модель Гейзенберга также служит базой для численных методов, таких как монте-карло моделирование спиновых решеток и динамика Ланжевена, позволяя исследовать реальные ферромагнитные системы и предсказывать их свойства.

Оглавление