Спиновые гамильтонианы

Спиновые гамильтонианы являются ключевым инструментом в описании взаимодействий спинов в различных физических системах. Они позволяют формализовать энергетические состояния системы с учетом как внешних, так и внутренних магнитных полей, обменных взаимодействий и анизотропии. Общая форма спинового гамильтониана определяется с учетом конкретной физической ситуации и характера взаимодействий.

Прямое и обменное взаимодействие спинов

Обменное взаимодействие — основной механизм, определяющий магнитные свойства материалов. В кристаллических решетках оно описывается гамильтонианом Хайзенберга:

Ĥ_ex = −∑_i ≠ jJ_ijS_i ⋅ S_j,

где J_ij — константа обменного взаимодействия между спинами i и j, S_i — оператор спина. Знак J_ij определяет тип магнитного порядка:

J_ij > 0 — ферромагнетизм, спины выравниваются параллельно.
J_ij < 0 — антиферромагнетизм, спины выстраиваются антипараллельно.

Для дальнодействующих взаимодействий используют гамильтониан Рудермана–Киттела–Касуя (RKKY), описывающий обменное взаимодействие через проводящие электроны:

Ĥ_RKKY = −∑_i ≠ jJ_RKKY(r_ij)S_i ⋅ S_j,

где J_RKKY(r_ij) зависит от расстояния между спинами и электронной структуры материала.

Зеемановское взаимодействие

Внешнее магнитное поле B взаимодействует с магнитным моментом спина μ = −gμ_BS, что приводит к появлению зеемановского гамильтониана:

Ĥ_Z = −μ ⋅ B = gμ_BS ⋅ B,

где g — фактор Ланде, μ_B — магнетон Бора. Это взаимодействие приводит к расщеплению уровней энергии спина в магнитном поле, известному как зеемановское расщепление. В системах с несколькими спинами оно влияет на коллективные возбуждения, такие как магноны.

Анизотропия спиновой системы

В реальных кристаллах спины испытывают влияние кристаллической среды, что приводит к магнитной анизотропии. Основные формы анизотропии:

Кубическая анизотропия:

Ĥ_cub = K∑_i(S_i, x⁴ + S_i, y⁴ + S_i, z⁴),

Осевая (uniaxial) анизотропия:

Ĥ_uni = D∑_i(S_i^z)²,

где D — константа анизотропии. Анизотропия определяет устойчивые направления намагниченности и играет ключевую роль в спиновых устройствах памяти, таких как MRAM.

Диполь–дипольное взаимодействие

Дипольные магнитные взаимодействия возникают между магнитными моментами, разделенными пространством:

$$ \hat{H}_{\text{dip}} = \frac{\mu_0}{4\pi} \sum_{i \neq j} \frac{1}{r_{ij}^3} \left[ \mathbf{S}_i \cdot \mathbf{S}_j - 3 (\mathbf{S}_i \cdot \hat{\mathbf{r}}_{ij})(\mathbf{S}_j \cdot \hat{\mathbf{r}}_{ij}) \right], $$

где $\hat{\mathbf{r}}_{ij}$ — единичный вектор, соединяющий спины i и j. Этот член важен для описания магнитной резонансной спектроскопии и коллективных спиновых волн.

Спин–орбитальное взаимодействие

Спин–орбитальное взаимодействие (SOI) возникает из-за движения электрона в электрическом поле ядра, что связывает его спин и орбитальный момент:

Ĥ_SO = λL ⋅ S,

где λ — константа спин–орбитального взаимодействия. SOI влияет на спиновые токи в спинтронных устройствах, обеспечивает эффекты типа спин–Холл и служит механизмом манипуляции спином без внешнего магнитного поля.

Общий спиновый гамильтониан

В общем виде спиновый гамильтониан можно записать как суперпозицию всех рассмотренных взаимодействий:

Ĥ = Ĥ_ex + Ĥ_Z + Ĥ_ani + Ĥ_dip + Ĥ_SO.

Каждое слагаемое отвечает за определенную физическую характеристику системы: обменные взаимодействия формируют магнитный порядок, внешние поля — расщепление уровней, а анизотропия и SOI — устойчивость и динамику спинов.

Квантовое описание и операторная формулировка

Спиновые операторы удовлетворяют коммутаторным соотношениям:

[S_i^α, S_j^β] = iℏδ_ijϵ_αβγS_i^γ,

где ϵ_αβγ — символ Леви–Чивиты. Эти соотношения лежат в основе построения спектра спиновых систем и вычисления матричных элементов гамильтонианов. Для систем с большим числом спинов применяют методы спиновой волновой теории, методы Хартри–Фока и численные диагонализации, позволяя анализировать коллективные возбуждения и фазовые переходы.