Уравнения переноса спина

В спинтронике ключевым элементом является описание динамики спина в материалах и на границах различных слоёв. Для этого используются уравнения переноса спина, которые связывают спиновую плотность и спиновые токи с внешними полями, градиентами концентрации и механизмами рассеяния. В отличие от классических уравнений переноса заряда, спиновые токи обладают векторной природой, так как спин — это векторное свойство электрона.

---

Спиновая плотность и спиновый ток

Спиновая плотность S(r, t) описывает количество спина на единицу объёма. В трехмерном пространстве она представляется как вектор:

S = (S_x, S_y, S_z)

где компоненты соответствуют проекциям спина на оси x, y, z.

Спиновый ток J_s описывает поток спина через единицу площади и может быть представлен как тензор второго порядка:

$$ \mathbf{J}_s = \begin{pmatrix} J_{s,x}^x & J_{s,x}^y & J_{s,x}^z \\ J_{s,y}^x & J_{s,y}^y & J_{s,y}^z \\ J_{s,z}^x & J_{s,z}^y & J_{s,z}^z \end{pmatrix}, $$

где J_s, i^j означает поток компоненты спина j в направлении i.

---

Уравнение непрерывности для спина

Основной принцип переноса спина формулируется через уравнение непрерывности:

$$ \frac{\partial \mathbf{S}}{\partial t} + \nabla \cdot \mathbf{J}_s = \mathbf{T} - \frac{\mathbf{S}}{\tau_s} $$

где:

• T — моментальные источники спина, например, из-за спин-орбитального взаимодействия или внешнего магнитного поля,
• τ_s — характерное время спиновой релаксации (спиновое рассеяние).

Это уравнение отражает баланс: изменение спиновой плотности со временем обусловлено дивергенцией спинового тока, генерацией/поглощением спина и релаксацией.

---

Дифузионная форма уравнения переноса спина

В приближении медленного движения электронов и слабых градиентов спиновой плотности, спиновый ток можно записать через диффузионное приближение:

J_s = −D_s∇S + μ_sE ⊗ S + J_{спин. генерация}

где:

• D_s — коэффициент спиновой диффузии,
• μ_s — спиновая подвижность,
• E — электрическое поле,
• J_{спин. генерация} — источник спинового тока, например, эффект Шеффера–Тайлер или спиновый Холл эффект.

Подставляя этот вид тока в уравнение непрерывности, получаем уравнение диффузии спина:

$$ \frac{\partial \mathbf{S}}{\partial t} = D_s \nabla^2 \mathbf{S} - \frac{\mathbf{S}}{\tau_s} + \mathbf{T} + \text{др. источники}. $$

Это уравнение является фундаментальным для моделирования спинтронных устройств и позволяет описывать пространственно-временное распространение спина в материалах.

---

Влияние спин-орбитального взаимодействия

Спин-орбитальное взаимодействие вносит дополнительный член в уравнение переноса:

T_SO = γ S × Ω(k)

где γ — коэффициент взаимодействия, а Ω(k) — эффективное поле спин-орбитального взаимодействия, зависящее от кристаллографического направления и волнового вектора электрона. Этот член приводит к прецессии спина, что существенно влияет на длину спиновой когерентности и генерацию поперечных спиновых токов.

---

Учет границ и интерфейсов

В реальных спинтронных устройствах важную роль играют границы между ферромагнитными и немагнитными слоями. На таких границах применяются граничные условия для спина:

$$ \mathbf{J}_s \cdot \hat{\mathbf{n}}|_{\text{граница}} = G_{\uparrow\downarrow} (\mathbf{S}_F - \mathbf{S}_N) $$

где:

• $\hat{\mathbf{n}}$ — нормаль к интерфейсу,
• G_↑ ↓ — спиновая проводимость интерфейса,
• S_F и S_N — спиновые плотности в ферромагнитном и немагнитном слое соответственно.

Эти условия позволяют моделировать спиновую инжекцию, накопление спина и эффекты обратного спинового тока, критически важные для магнонных и спиновых транзисторов.

---

Ключевые параметры спинового переноса

1. Спиновая длина диффузии $\lambda_s = \sqrt{D_s \tau_s}$ — характеризует расстояние, на котором спин сохраняет ориентацию.
2. Время спиновой релаксации τ_s — определяет, как быстро теряется спиновая когерентность.
3. Спиновая проводимость интерфейсов G_↑ ↓ — задает эффективность передачи спина через границы.
4. Спиновая подвижность μ_s — связывает спиновый ток с электрическим полем в металлах и полупроводниках.

Эти параметры входят в все численные модели и эксперименты по спинтронике и являются определяющими для проектирования устройств с контролем спинового потока.