Одним из важнейших инструментов численного моделирования в ядерной физике являются методы Монте-Карло. Эти стохастические алгоритмы позволяют моделировать сложные процессы взаимодействия частиц, основанные на вероятностной природе квантовых переходов, распадов, рассеяния и транспортировки. В частности, применяются при моделировании реакторов, нейтронного транспорта, дозиметрии и в экспериментах по ядерной астрофизике.
Основной идеей метода Монте-Карло является генерация большого количества случайных событий, представляющих собой физические процессы, например: рассеяние нейтрона на ядре, захват, деление и т.д. Каждое событие моделируется на основе известных вероятностей (сечений), после чего статистическая обработка полученных результатов даёт оценки искомых величин: плотности потока, коэффициентов размножения, вкладов в детектор и др.
Алгоритмы Монте-Карло требуют детального знания ядерных данных (ENDF/B, JENDL, TENDL и т.п.), эффективной генерации случайных чисел и методов редукции дисперсии, таких как важностная выборка, псевдопоглощение, отражение и пр.
Многие задачи в ядерной физике сводятся к решению дифференциальных уравнений: от уравнения Шрёдингера для системы нескольких нуклонов до уравнений диффузии нейтронов в реакторе.
Конечные разности — классический подход, заключающийся в дискретизации производных с использованием их приближений в сеточных точках. Метод Эйлера, метод Рунге-Кутты (особенно 4-го порядка) и методы Адамса используются в задачах, где важна устойчивость и точность при решении обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ).
Метод конечных элементов (МКЭ) применяется, когда необходимо учесть сложную геометрию и граничные условия, например, при расчётах распределения температуры или плотности потока нейтронов в активной зоне реактора. МКЭ разбивает область на элементы, в которых уравнение сводится к алгебраическим системам, решаемым итерационными методами.
Метод конечных объёмов широко применяется в гидродинамике ядерных взрывов и термоядерного синтеза, особенно в нестационарных задачах, где требуется строгое соблюдение закона сохранения энергии и массы.
Для анализа структуры ядра используются численные методы решения уравнений Шрёдингера в пространстве конфигураций. Подходы включают:
Метод диагонализации гамильтониана в базисе одночастичных состояний (оболочечная модель). С ростом числа нуклонов размерность гамильтониана становится колоссальной, и применяются методы уменьшения размерности (Lanczos, Davidson).
Метод Hartree-Fock-Bogoliubov — обобщение Хартри-Фока с учётом парной корреляции, позволяет находить основное и возбуждённые состояния ядер.
Методы плотностного функционала (DFT), в частности Skyrme и Gogny подходы, позволяют эффективно описывать крупные ядра.
При расчёте переходов используются матричные элементы операторов, таких как дипольный момент, магнитный момент и операторы слабого взаимодействия. Их вычисление требует точного знания волновых функций начального и конечного состояний.
Взаимодействие нескольких нуклонов описывается сложным интегро-дифференциальным уравнением. Для трёх- и четырёхтельных задач (например, дейтрон + протон) применяются:
Метод Фаддеева — разложение полной волновой функции на компоненты взаимодействий между парами тел. Требует численного решения системы интегральных уравнений с сильной корреляцией между переменными.
Метод гиперсферических гармоник — разложение по гиперсферическим базисам, удобно для систем из более чем двух частиц.
Методы стохастических вариационных приближений, в которых волновая функция параметризуется, и параметры подбираются численно для минимума энергии.
Эти методы требуют огромных вычислительных ресурсов, и часто применяются на суперкомпьютерах с параллельной архитектурой.
В ядерной реакции происходит перераспределение энергии и нуклонов между ядрами. Численное моделирование реакций важно как для фундаментальной физики, так и для прикладных задач (например, в реакторах, в дозиметрии и при радиационной защите).
Модель оптического потенциала описывает рассеяние частиц как движение в комплексном потенциале. Численное решение уравнения Шрёдингера с комплексным потенциалом требует методов с хорошей устойчивостью, таких как интегрирование с шагом по переменной (adaptive step Runge-Kutta).
Метод связанных каналов учитывает возбуждение ядер в процессе взаимодействия. Здесь решается система связанных дифференциальных уравнений второго порядка. При этом возникает необходимость в регулярной и сингулярной интеграции с обеспечением граничных условий при больших расстояниях.
Статистическая модель (Hauser-Feshbach) применяется при высоких энергиях и высокой плотности уровней. Она требует оценки плотностей уровней, сечений и вероятностей распадов на основе распределений (например, распределения Вигнера).
Транспорт нейтронов, протонов, фотонов и других частиц через вещество описывается уравнением Больцмана. Его точное решение невозможно для большинства практических задач, и используются численные методы.
Метод дискретных направлений (SN-метод) дискретизует угловую зависимость и решает уравнение в конечных объёмах. Применим при малых длинах пробега, но требует больших ресурсов.
Метод характеристик позволяет точно прослеживать траектории частиц в фазовом пространстве. Подходит для сильно анизотропных потоков.
Комбинированные методы (например, Monte Carlo + deterministic), где сложные участки рассчитываются стохастически, а регулярные — детерминированно.
Особое внимание уделяется ускоряющим методам: мультигрид, предобусловленные итерации, использование GPU и векторных процессоров.
Современные задачи ядерной физики требуют решения обратных задач: по данным эксперимента определить параметры модели, взаимодействия, структуры ядра. Применяются методы:
Методы регрессии, сверточные нейросети, авторегрессионные модели и обучение с подкреплением находят применение как в теоретических, так и в экспериментальных направлениях.
В ядерной физике активно применяются специализированные программные среды и библиотеки:
Широко применяются языки программирования Fortran, C++, Python, а также библиотеки линейной алгебры (LAPACK, BLAS), пакеты параллельных вычислений (MPI, OpenMP) и графические процессоры (CUDA, ROCm).