Диффузия нейтронов

Диффузия нейтронов — это процесс пространственного перераспределения нейтронов в веществе в результате их многократного рассеяния. В отличие от направленного движения пучка частиц, диффузия описывает случайное блуждание нейтронов в среде, приводящее к их постепенному распространению от областей высокой плотности к областям с меньшей концентрацией. Этот процесс играет ключевую роль в ядерных реакторах, особенно при описании поведения нейтронов в замедляющей и размножающей средах.

Уравнение диффузии нейтронов

В рамках приближённой теории переноса нейтронов применяется уравнение диффузии, которое получается из транспортного уравнения Больцмана в результате ряда допущений:

$$ \frac{1}{v} \frac{\partial \phi(\vec{r}, t)}{\partial t} - D \nabla^2 \phi(\vec{r}, t) + \Sigma_a \phi(\vec{r}, t) = S(\vec{r}, t) $$

где:

  • ϕ(r⃗, t) — скалярная плотность потока нейтронов (нейтронов/см²·с),
  • v — средняя скорость нейтрона,
  • D — коэффициент диффузии (см),
  • Σa — макроскопическое сечение поглощения,
  • S(r⃗, t) — источник нейтронов.

Это уравнение описывает изменение плотности потока нейтронов во времени и пространстве, учитывая рассеяние, поглощение и внешний источник.

Коэффициент диффузии

Коэффициент диффузии D выражается через параметры рассеяния следующим образом:

$$ D = \frac{1}{3\Sigma_{tr}}, \quad \Sigma_{tr} = \Sigma_s (1 - \langle \cos \theta \rangle) $$

где:

  • Σtr — макроскопическое транспортное сечение,
  • Σs — макроскопическое сечение рассеяния,
  • ⟨cos θ⟩ — средний косинус угла рассеяния.

Для замедленных (тепловых) нейтронов в легких средах ⟨cos θ⟩ ≈ 0, и Σtr ≈ Σs. В тяжелых средах направление сохраняется лучше, и D возрастает.

Длина диффузии нейтронов

Длина диффузии L характеризует, на каком расстоянии нейтрон в среднем может уйти от точки своего рождения до поглощения:

$$ L = \sqrt{\frac{D}{\Sigma_a}} $$

Это фундаментальная характеристика среды. В реакторной физике она определяет размеры активной зоны и поведение нейтронов вблизи границ.

Стационарное уравнение диффузии без источников

Для стационарного случая ( ∂ϕ/∂t = 0 ) и отсутствия внешних источников уравнение принимает вид:

D∇2ϕ(r⃗) − Σaϕ(r⃗) = 0

Это однородное уравнение второго порядка, решение которого зависит от геометрии задачи и граничных условий. В простейшем случае сферической симметрии:

$$ \frac{1}{r^2} \frac{d}{dr} \left( r^2 \frac{d\phi}{dr} \right) - \frac{\phi}{L^2} = 0 $$

Решение имеет вид экспоненциального убывания:

$$ \phi(r) = \frac{A}{r} e^{-r/L} $$

Граничные условия

Реальная физическая среда ограничена, и необходимо учитывать поверхностные условия. В рамках приближения диффузии, граничное условие формулируется как:

$$ \phi + \frac{4D}{v} \vec{n} \cdot \nabla \phi = 0 \quad \text{на границе} $$

Или, в эквивалентной форме, через экстраполированную границу — условную поверхность, находящуюся вне физической среды на расстоянии порядка 0.71L, где плотность потока обращается в ноль.

Диффузия при наличии источника

Если в среде имеется изотропный точечный источник нейтронов с интенсивностью Q (нейтронов/с), то в стационарном режиме:

D∇2ϕ − Σaϕ = −Qδ(r⃗)

Для бесконечной среды решение будет:

$$ \phi(r) = \frac{Q}{4\pi D r} e^{-r/L} $$

Это выражение показывает экспоненциальное затухание потока нейтронов от точки источника, обусловленное их поглощением.

Мультипликация и диффузия

В размножающей среде нейтроны не только диффундируют и поглощаются, но и порождают новые нейтроны в результате деления. Тогда уравнение приобретает вид:

D∇2ϕ − Σaϕ + νΣfϕ = 0

где νΣf — производящий член, характеризующий генерацию нейтронов вследствие деления. Вводится параметр эффективного коэффициента размножения k, и уравнение переписывается как:

$$ D \nabla^2 \phi + \left( \frac{\nu \Sigma_f - \Sigma_a}{k} \right) \phi = 0 $$

При k = 1 — установившийся критический режим, при k < 1 — затухание, при k > 1 — рост плотности нейтронов.

Применимость теории диффузии

Теория диффузии применима при следующих условиях:

  • среда достаточно однородна и изотропна,
  • рассеяние преобладает над поглощением,
  • рассеяние близко к изотропному,
  • размер области много больше длины свободного пробега.

При нарушении этих условий, особенно при резком градиенте плотности нейтронов или вблизи поверхности, необходимо использовать более точное транспортное уравнение.

Диффузия замедляющихся нейтронов

Если учитывать, что нейтроны при распространении теряют энергию (замедляются), вводится энергетически-зависимая функция потока ϕ(r⃗, E), и уравнение диффузии усложняется:

$$ \frac{\partial}{\partial E} \left[ \xi(E) \phi(\vec{r}, E) \right] - D(E) \nabla^2 \phi(\vec{r}, E) + \Sigma_a(E) \phi(\vec{r}, E) = S(\vec{r}, E) $$

где ξ(E) — логарифмический замедляющий коэффициент. Энергетическая зависимость становится особенно важной при описании замедлителей и перехода к тепловому спектру.

Математические методы решения

Для решения уравнений диффузии в различных геометриях применяются:

  • метод разделения переменных (для регулярных областей),
  • метод конечных разностей и конечных элементов (для численного моделирования),
  • вариационные методы,
  • метод Грина (при наличии источников).

Решения позволяют анализировать распределение плотности нейтронов в реакторе, оценивать критичность, проектировать экраны и отражатели.

Практическое значение

Диффузионная теория лежит в основе:

  • расчётов нейтронного поля в реакторах,
  • анализа реакторной безопасности,
  • оптимизации формы и состава активной зоны,
  • определения размеров замедлителей, отражателей и экранов,
  • моделирования рассеяния и поглощения в shielding-задачах.

Она остаётся фундаментальным инструментом инженерной ядерной физики, несмотря на развитие более точных методов решения уравнений переноса.

Оглавление