Хартри-Фоковское приближение

Хартри-Фоковское приближение в ядерной физике

Хартри-Фоковское приближение представляет собой вариационный метод, применяемый для описания многочастичных фермионных систем, в частности, атомных ядер. Суть метода заключается в сведении задачи о взаимодействии многих частиц к системе самосогласованных одночастичных уравнений. Это позволяет приблизительно учесть корреляции между нуклонами, возникающие вследствие их взаимодействия, при этом значительно упростив задачу.

Исходной точкой метода является представление полной волновой функции многочастичной системы в виде антисимметризированного произведения одночастичных волновых функций — детерминанта Слейтера:

$$ \Psi(\mathbf{r}_1, \mathbf{r}_2, \dots, \mathbf{r}_A) = \frac{1}{\sqrt{A!}} \begin{vmatrix} \phi_1(\mathbf{r}_1) & \phi_2(\mathbf{r}_1) & \cdots & \phi_A(\mathbf{r}_1) \\ \phi_1(\mathbf{r}_2) & \phi_2(\mathbf{r}_2) & \cdots & \phi_A(\mathbf{r}_2) \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \phi_1(\mathbf{r}_A) & \phi_2(\mathbf{r}_A) & \cdots & \phi_A(\mathbf{r}_A) \end{vmatrix} $$

где ϕ_i(r) — одночастичные спин-пространственные волновые функции.

В рамках вариационного подхода полная энергия системы минимизируется по этим функциям при условии их ортонормированности:

⟨ϕ_i|ϕ_j⟩ = δ_ij

Энергетический функционал и его минимизация

Гамильтониан системы в общем виде включает одночастичную и двухчастичную части:

$$ \hat{H} = \sum_{i=1}^A \hat{h}(i) + \sum_{i<j}^A \hat{v}(i,j) $$

Здесь ĥ(i) — одночастичный оператор (включающий кинетическую энергию и внешние поля), v̂(i, j) — двухчастичный потенциал взаимодействия между нуклонами.

Функционал полной энергии принимает вид:

$$ E[\{\phi_i\}] = \sum_{i=1}^A \langle \phi_i | \hat{h} | \phi_i \rangle + \frac{1}{2} \sum_{i,j=1}^A \left( \langle \phi_i \phi_j | \hat{v} | \phi_i \phi_j \rangle - \langle \phi_i \phi_j | \hat{v} | \phi_j \phi_i \rangle \right) $$

Второй член — сумма прямого и обменного вкладов двухчастичного взаимодействия. Обменный вклад обусловлен фермионной природой нуклонов и является характерной особенностью метода Фока.

Минимизация этого функционала при условии ортонормированности приводит к системе самосогласованных уравнений Хартри-Фока:

ĥ_HFϕ_i(r) = ε_iϕ_i(r)

где ĥ_HF — эффективный одночастичный Хартри-Фоковский оператор, зависящий от всех остальных одночастичных функций ϕ_j. Таким образом, уравнения необходимо решать итерационно до достижения самосогласованного решения.

Ядерные особенности и взаимодействия

В ядерной физике к Хартри-Фоковскому приближению применяются специфические модификации, связанные с природой ядерных сил:

Короткодействие и насыщаемость ядерных сил требуют использования эффективных взаимодействий (например, взаимодействие Ска́рма или Гогни).
Зависимость от спина и изоспина нуклонов требует включения операторов, зависящих от этих степеней свободы.
В ядерных системах обычно рассматриваются сферически симметричные или аксиально деформированные поля, что отражается в выборе базиса и симметрий.

Эффективные взаимодействия параметризуются на основе экспериментальных данных (например, массы, радиусы, уровни энергии) и позволяют использовать метод Хартри-Фока для реальных ядер.

Применение к конечным и бесконечным системам

Хартри-Фоковское приближение успешно применяется как к конечным ядрам (например, ¹⁶O, ²⁰⁸Pb), так и к моделированию ядерного вещества (в контексте модели ферми-газа и ядерной материи).

Конечные ядра:

Расчёты уровней энергии, формы ядер, плотностей нуклонов.
Определение магических чисел и оболочечной структуры.
Исследование деформаций и коллективных возбуждений.

Ядерное вещество:

Расчёты уравнения состояния при различных плотностях и асимметрии по нейтронам/протонам.
Моделирование условий в нейтронных звёздах.

Ограничения и необходимость обобщений

Несмотря на эффективность метода, он обладает рядом ограничений:

Отсутствие динамических корреляций. Метод учитывает только среднее поле и обмен, не захватывая возбуждения пар и коллективные колебания.
Недостаточное описание дальнодействующих корреляций (например, связанных с коррелированными парами нуклонов).
Зависимость от выбора эффективного взаимодействия — результаты чувствительны к параметризации.

В связи с этим были разработаны обобщения:

Хартри-Фок-Боголюбовский метод (HFB) — включает парные корреляции и суперпозицию состояний.
Временная теория возмущений (RPA) — описывает коллективные возбуждения.
Динамические корреляции в рамках метода конфигурационного взаимодействия (CI) или многотельной теории возмущений (MBPT).

Нумерическая реализация

Решение уравнений Хартри-Фока требует численных методов:

Базисные разложения: гармонический осциллятор, плоские волны и т.п.
Итерационные процедуры: метод простых итераций или метод сопряжённых градиентов.
Обработка спин-орбитального взаимодействия и симметрий (например, аксиальной).

В вычислительной ядерной физике разработаны пакеты, решающие уравнения Хартри-Фока для ядер в различных условиях — Sky3D, HFODD, EV8 и др.

Роль в современной ядерной теории

Хартри-Фоковское приближение — фундамент метода самосогласованного поля, лежащего в основе многих современных теорий:

Теория плотностного функционала (DFT) в ядерной физике базируется на обобщении Хартри-Фока с учётом корреляций.
Хартри-Фоковская база используется в квантово-механических моделях реакции и распада.
Обобщения Хартри-Фока применяются в описании экзотических ядер, ядер далеко от стабильности, и в астрофизике.

Метод сохраняет свою актуальность благодаря балансу между точностью и вычислительной сложностью и служит основой для перехода к более точным многочастичным подходам.