Кулоновский барьер — это потенциальный энергетический барьер, возникающий вследствие электростатического отталкивания между положительно заряженными ядрами. Его существование обусловлено кулоновским взаимодействием, описываемым законом Кулона. В ядерной физике кулоновский барьер играет ключевую роль в определении вероятности ядерных реакций, особенно при низких энергиях. Он ограничивает возможность сближения двух ядер на расстояние, необходимое для проявления сильного ядерного взаимодействия, которое гораздо сильнее кулоновского, но действует лишь на очень малых расстояниях (порядка нескольких фемтометров).
Если кинетическая энергия налетающей частицы недостаточна для преодоления этого барьера, реакция может происходить только за счёт туннелирования — квантовомеханического эффекта, при котором частица с определённой вероятностью может проникнуть сквозь потенциальный барьер даже при энергии, меньшей его высоты.
Потенциальная энергия взаимодействия двух точечных положительных зарядов Z1e и Z2e в зависимости от расстояния r между ними описывается выражением:
$$ V_C(r) = \frac{Z_1 Z_2 e^2}{4\pi \varepsilon_0 r} $$
где:
Высота барьера достигает максимума на границе, где кулоновское отталкивание начинает конкурировать с притягивающим сильным взаимодействием. Типичное значение кулоновского барьера между ядрами с Z ∼ 10 ÷ 100 составляет несколько МэВ, в зависимости от масс и зарядов взаимодействующих ядер.
Для грубой оценки высоты барьера можно использовать приближение:
$$ V_B \approx \frac{Z_1 Z_2 e^2}{4\pi \varepsilon_0 (R_1 + R_2)} $$
где R1 и R2 — радиусы взаимодействующих ядер. Радиус ядра приблизительно подчиняется зависимости:
R = R0A1/3, R0 ≈ 1, 2 фм
Например, для реакции α + 238U (где Z1 = 2, Z2 = 92), высота кулоновского барьера составляет:
$$ V_B \approx \frac{(2)(92)(1{,}44\, \text{МэВ·фм})}{1{,}2(4^{1/3} + 238^{1/3})} \approx 27{,}6\, \text{МэВ} $$
Таким образом, альфа-частица с энергией порядка 5 МэВ не может преодолеть барьер классическим образом, но может туннелировать через него.
Одним из центральных механизмов, позволяющих ядерным реакциям протекать при низких энергиях, является туннелирование. Согласно квантовой механике, вероятность проникновения через потенциальный барьер можно описать с помощью так называемого коэффициента прозрачности T, выражаемого в аппроксимации Вентцеля–Крамерса–Бриллюэна (WKB):
$$ T \sim \exp\left[ -2 \int_{r_1}^{r_2} \sqrt{\frac{2\mu}{\hbar^2}(V(r) - E)} \, dr \right] $$
где:
Для кулоновского потенциала при энергиях E ≪ VB коэффициент туннелирования экспоненциально мал. Однако даже малая вероятность туннелирования становится значимой при больших потоках налетающих частиц, что критически важно, например, в термоядерных реакциях в недрах звёзд.
В термоядерных реакциях, например, в реакции слияния дейтерия и трития:
2H + 3H → 4He + n + 17, 6 МэВ
высота кулоновского барьера составляет около 400 кэВ. Однако температура в недрах Солнца эквивалентна лишь 10–15 кэВ, что намного ниже этой высоты. Поэтому ключевую роль в реакции играет туннелирование сквозь барьер. Вероятность туннелирования зависит от энергии частиц и определяется гамовским фактором, который экспоненциально подавляет сечение реакции при низких энергиях:
$$ P \sim \exp\left( -\frac{b}{\sqrt{E}} \right), \quad b \propto Z_1 Z_2 \sqrt{\mu} $$
Это объясняет, почему реакция слияния тяжёлых ядер требует гораздо более высоких температур: кулоновский барьер выше, а вероятность туннелирования — ниже.
Сечение ядерной реакции в присутствии кулоновского барьера можно представить в виде:
$$ \sigma(E) = \frac{S(E)}{E} \cdot \exp\left( -2\pi \eta \right) $$
где:
Фактор exp (−2πη) описывает подавление сечения из-за кулоновского барьера. Для малых энергий η велик, и сечение реакции падает экспоненциально. Это имеет прямое значение в астрофизике, где реакции происходят при температурах ниже кулоновского барьера.
1. Альфа-распад. Кулоновский барьер определяет вероятность выхода альфа-частицы из ядра. Внутри ядра альфа-частица находится в потенциальной яме, ограниченной снаружи кулоновским барьером. Вероятность альфа-распада прямо зависит от туннелирования через этот барьер, и именно этим обусловлено экспоненциальное изменение периода полураспада при изменении энергии альфа-частицы.
2. Деление тяжёлых ядер. При делении ядро деформируется, образуются две части, и между ними возникает кулоновское отталкивание. При переходе через седловую точку потенциальной энергии (в том числе с учётом кулоновской составляющей) ядро может спонтанно делиться.
3. Захват протонов и тяжёлых ионов. В реакциях с тяжёлыми ядрами кулоновский барьер затрудняет приближение налетающих протонов и альфа-частиц. Для успешного взаимодействия требуются либо высокие энергии (например, в ускорителях), либо механизм туннелирования.
Для более полного описания взаимодействия двух ядер учитывают не только кулоновский потенциал, но и ядерный потенциал притяжения, действующий на малых расстояниях. Суммарный потенциал имеет форму:
Vэфф(r) = VC(r) + VY(r)
где VY(r) — ядерный потенциал (например, форма Юкaвы или Вудса-Саксона). Совокупность этих потенциалов формирует барьер, максимальная точка которого и есть кулоновский барьер. Преодоление или туннелирование через этот эффективный барьер определяет вероятность наступления реакции.
В астрофизике важным понятием является гамовское окно — диапазон энергий, при которых наиболее вероятны ядерные реакции с участием туннелирования. Это окно определяется как перекрытие между распределением Максвелла скоростей частиц и вероятностью туннелирования:
$$ \text{G}(E) = \exp\left( -\frac{E}{kT} \right) \cdot \exp\left( -\frac{b}{\sqrt{E}} \right) $$
Максимум этой функции даёт наиболее эффективную энергию реакции — центр гамовского окна. Его положение и ширина зависят от температуры и зарядов ядер.
Для осуществления ядерных реакций с участием тяжёлых ионов в лабораторных условиях применяются ускорители. Частицы разгоняются до энергий, сравнимых или превышающих кулоновский барьер. Это позволяет индуцировать реакции, недоступные при тепловых энергиях. При этом кулоновский барьер задаёт нижний предел энергии, необходимой для возбуждения реакции слияния, расщепления или передачи нуклонов.
Чем больше Z взаимодействующих ядер, тем выше барьер. Это резко ограничивает возможность спонтанных или низкоэнергетических реакций между тяжёлыми ядрами. Поэтому наиболее вероятными являются реакции между лёгкими элементами. Влияние кулоновского барьера также возрастает при увеличении массы системы, поскольку уменьшается кинетическая энергия при заданной температуре.