Магические числа

Магические числа в ядерной физике

Понятие магических чисел

В ядерной физике под магическими числами понимаются определённые значения числа протонов (Z) или нейтронов (N) в ядре, при которых наблюдается особенно высокая устойчивость ядер. Эти числа проявляются в резких скачках энергии связи, в повышенной стабильности и в аномально низком сечении реакции ядер с такими числами нуклонов. К магическим числам относятся:

$$ \boxed{2,\ 8,\ 20,\ 28,\ 50,\ 82,\ 126} $$

Ядра, в которых как число протонов, так и число нейтронов является магическим, называют дважды магическими. Примеры таких ядер: – ₂⁴He, – ₈¹⁶O, – ₂₀⁴⁰Ca, – ₈₂²⁰⁸Pb.

Экспериментальные свидетельства магических чисел

Магические числа были открыты эмпирически при анализе различных физических свойств ядер:

• Энергия связи на нуклон: наблюдаются максимумы при магических числах, особенно выраженные у лёгких ядер.
• Изотопное распределение: изотопы с магическим числом нейтронов более стабильны и многочисленны.
• Сечения реакций: резко падают при попадании на магическое ядро.
• Энергетические уровни возбуждённых состояний: ядра с магическим числом имеют более широкую энергетическую щель между основным и первым возбуждённым состоянием.
• Первичные продукты ядерного деления: часто включают ядра с магическими числами (например, Z = 50, N = 82).

Обоснование магических чисел: оболочечная модель ядра

Основой теоретического объяснения магических чисел служит оболочечная модель, предложенная М. Гёпперт-Майер и Ю. Йенсеном (1949), за что они получили Нобелевскую премию в 1963 году. Эта модель аналогична электронной оболочечной структуре в атомах: нуклоны (протоны и нейтроны) заполняют дискретные энергетические уровни в центральном потенциальном поле ядра.

Центральный потенциал и спиново-орбитальное взаимодействие

Для описания движения нуклона в ядре используется потенциал, приближённо аналогичный потенциальной яме:

$$ V(r) = -V_0 \left[1 + \exp\left(\dfrac{r - R}{a}\right)\right]^{-1} $$

где R — радиус ядра, a — параметр поверхностной диффузии, V₀ — глубина потенциальной ямы.

Ключевым вкладом в образование энергетических щелей между уровнями стало учёт спин-орбитального взаимодействия:

V_so(r) = λ(l⃗ ⋅ s⃗)

где l⃗ — орбитальный момент нуклона, s⃗ — спиновый момент, λ — константа взаимодействия. Это взаимодействие приводит к расщеплению уровней с одинаковым l, но различным $j = l \pm \tfrac{1}{2}$. Расщепление делает возможным образование более выраженных энергетических «щелей» между заполненными и незаполненными уровнями — оболочек.

Распределение энергетических уровней

Энергетические уровни нуклонов группируются в оболочки. Заполнение каждой следующей оболочки требует всё большего количества нуклонов. Влияние спин-орбитального расщепления особенно заметно начиная с уровня l = 1 (p-оболочка) и далее.

Примерная последовательность заполнения уровней с учётом спин-орбитального взаимодействия:

Уровень	n, l, j	Число состояний
1s1/2	n = 1, l = 0, j = 1/2	2
1p3/2	n = 1, l = 1, j = 3/2	4
1p1/2	n = 1, l = 1, j = 1/2	2
1d5/2	n = 1, l = 2, j = 5/2	6
2s1/2	n = 2, l = 0, j = 1/2	2
1d3/2	n = 1, l = 2, j = 3/2	4
1f7/2	n = 1, l = 3, j = 7/2	8
…	…	…

Суммарное число состояний после каждого завершённого уровня даёт магическое число: 2 (s), 8 (p), 20 (d, s), 28 (f), 50 (g), 82 (h), 126 (i).

Дважды магические ядра и их свойства

Особый интерес представляют ядра, у которых и число протонов, и число нейтронов являются магическими. Они демонстрируют наибольшую устойчивость и энергетическую изолированность. Примеры:

• ₂⁴He: альфа-частица — полностью заполненная 1s оболочка.
• ₈¹⁶O: по 8 протонов и нейтронов.
• ₂₀⁴⁰Ca: двойное магическое ядро с необычно жёсткой сферической формой.
• ₈₂²⁰⁸Pb: стабильное тяжёлое ядро с высокой энергией связи и большой разностью энергий между основным и возбуждённым состояниями.

Экзотические магические числа

Хотя классические магические числа универсальны для стабильных ядер, исследования ядер, удалённых от линии стабильности (особенно в области нейтронных избытков), показали возможность изменения магических чисел. Такие явления называют размыванием оболочек или изменчивостью магии.

В некоторых случаях наблюдаются:

• исчезновение классических магических чисел (например, N = 20 в изотопах ³²Mg),
• появление новых магических чисел (например, N = 16 или N = 32).

Это связано с изменением конфигурации нуклонов в условиях сильной нейтронной асимметрии, ослабления спин-орбитального взаимодействия, деформации ядра и другими корреляционными эффектами.

Роль магических чисел в ядерной астрофизике

Магические числа играют важную роль в процессах нуклеосинтеза, особенно в r-процессе — быстром захвате нейтронов в звёздных взрывах. Ядра с магическим числом нейтронов выступают как узловые точки, на которых процесс временно «останавливается», и наблюдаются как пики в распределении массовых чисел элементов в космосе (например, на A ≈ 130 и A ≈ 195).

Применение магических чисел в ядерной технологии

• Выбор стабильных изотопов для длительного хранения ядерных отходов.
• Определение фрагментов деления в ядерных реакторах.
• Анализ устойчивости супер-тяжёлых элементов в поисках острова стабильности — гипотетической области в области больших Z, где магическое число нейтронов N = 184 может обеспечить относительную стабильность ядер с Z = 114, 120, 126.

Магические числа и форма ядер

Магические ядра, как правило, сферичны, поскольку полностью заполненные оболочки не приводят к деформационному эффекту (аналогично благородным газам в атомной физике). Напротив, ядра между магическими числами часто деформированы и проявляют коллективные возбуждения — вращательные и колебательные уровни.