Метод связанных каналов

Основы формализма связанных каналов

Метод связанных каналов — один из фундаментальных методов в ядерной физике, предназначенный для описания процессов рассеяния и взаимодействия ядер, в которых участвуют несколько возможных состояний системы. Этот метод обобщает уравнение Шрёдингера на случай многоканальных задач, когда при взаимодействии частиц возможны переходы между различными конфигурационными или возбуждёнными состояниями ядерной системы. Примером может служить неупругое рассеяние, реакция передачи нуклонов, возбуждение коллективных состояний и ядерные реакции с промежуточными возбужденными состояниями.

Основное предположение метода заключается в том, что волновая функция полной системы разлагается по набору каналов, каждый из которых описывает определённое состояние взаимодействующих ядер. Эти каналы могут включать как основное, так и возбуждённые состояния, включая вращательные, вибрационные и другие коллективные возбуждения.

Пусть имеется две взаимодействующие системы, например, ядро-мишень и налетающая частица. Волновая функция полной системы представляется как линейная комбинация волновых функций каналов:

Ψ(r, ξ) = ∑_iχ_i(r)ϕ_i(ξ),

где

r — координата относительного движения,
ξ — внутренние координаты,
ϕ_i(ξ) — волновые функции внутренних состояний (каналов),
χ_i(r) — амплитуды движения в каждом канале.

Подставляя разложение Ψ в уравнение Шрёдингера и проецируя на каждую ϕ_j(ξ), получают систему связанных уравнений второго порядка:

[T_r + V_jj(r) − E_j]χ_j(r) + ∑_i ≠ jV_ji(r)χ_i(r) = 0,

где

T_r — оператор кинетической энергии относительного движения,
V_ji(r) — потенциалы связи между каналами,
E_j — энергия канала j.

Каналы и потенциальные связи

Каналы классифицируются по квантовым числам внутренних состояний: спину, паритету, энергетическим уровням и т.д. Потенциал V_ji(r) характеризует возможность перехода между состояниями i и j, возникающую, например, из-за взаимодействия между внутренними структурами ядер и полем налетающей частицы. Эти потенциалы, как правило, зависят от координаты относительного движения и могут включать ядерное, кулоновское и обменное взаимодействия.

Для практических расчётов наиболее часто применяются следующие формы потенциала связи:

Коллективная модель (например, для сферически или деформированного ядра): Потенциал включает взаимодействие с вибрационными или вращательными модами ядра, давая вклад в V_ji(r), пропорциональный производным от основного потенциала и параметрам деформации ядра.
Микроскопические модели: Потенциалы строятся из свёртки нуклон-нуклонного взаимодействия с плотностями ядер.
Феноменологические потенциалы: Используются простые аналитические формы (например, Вудса-Саксона), в которые добавляются члены связи, подобранные для описания экспериментальных данных.

Реализация метода для двухканальной задачи

В простейшем случае двухканальной задачи (упругое и неупругое рассеяние) уравнения принимают вид:

$$ \begin{cases} \left[ T + V_{11}(r) - E \right] \chi_1(r) + V_{12}(r)\chi_2(r) = 0, \\ \left[ T + V_{22}(r) - (E - \Delta E) \right] \chi_2(r) + V_{21}(r)\chi_1(r) = 0, \end{cases} $$

где ΔE — энергия возбуждения второго канала. Связь между каналами создаёт нелинейные эффекты, которые проявляются в сечениях рассеяния, фазах, резонансных структурах.

Сечение рассеяния и матрица рассеяния

В методе связанных каналов строится S-матрица, каждый элемент которой S_ij характеризует вероятность перехода из канала j в канал i. Сечение упругого и неупругого рассеяния, а также вероятность различных реакций определяются модулями и фазами этих элементов.

Связанность каналов приводит к следующему:

Межканальные интерференции, влияющие на формы дифференциальных и интегральных сечений;
Резонансные эффекты, вызванные возбуждением промежуточных состояний;
Поляризация каналов, приводящая к анизотропии и асимметриям в продуктах реакции.

Для вычисления S-матрицы требуется численное решение системы связанных дифференциальных уравнений на большом интервале по r, с соответствующими граничными условиями. Чаще всего применяются методы:

метод Рунге-Кутты с автоматическим контролем шага;
метод интегрирования с использованием матрицы логарифмических производных;
метод расщепления по каналам с последующим ортогонализующим преобразованием.

Применения метода

Метод связанных каналов широко используется в анализе:

Неупругого рассеяния лёгких и тяжёлых ионов;
Реакций передачи нуклонов и кластеров, включая (p,d), (d,p), (α,t) и др.;
Фузионных реакций, в которых важны возбуждённые состояния и канал захвата;
Суббарьерного слияния, где переходы между каналами изменяют высоту и форму кулоновского барьера;
Сейсмических аналогов в астрофизике, где ядерные реакции в звёздах зависят от плотности каналов и вероятности перехода.

Матричный подход и R-матрица

В альтернативном формализме используется R-матричный подход, в котором пространство делится на внутреннюю и внешнюю область, а вся динамика каналов описывается на границе раздела. Этот подход позволяет эффективно учитывать многоуровневую структуру ядра и использовать его в анализе экспериментальных данных, особенно при наличии резонансов.

Коллективная модель и деформированное ядро

Для ядер с выраженной деформацией важно учитывать вращательные уровни, приводящие к образованию многоканальных систем с характерной ступенчатой структурой. В этом случае потенциал взаимодействия строится с учётом деформации (например, параметр β₂) и угловой зависимости, что приводит к существенной связи между каналами с разными квантовыми числами вращения. Такой подход особенно актуален при изучении тяжёлых ядер и реакций возбуждения на коллективные уровни.

Обменные и непрямые каналы

Обменные процессы, возникающие при передаче тождественных частиц между ядрами, требуют симметризации волновых функций и ведут к добавлению обменных потенциалов. Эти члены потенциала могут быть как локальными, так и нелокальными, и существенно влияют на структуру системы уравнений. Также могут быть включены непрямые каналы — каналы, в которых происходит каскадный переход через промежуточные состояния.

Численные методы и программные реализации

Для решения задач в методе связанных каналов разработано множество программных пакетов, включая:

ECIS — программа для анализа упругого и неупругого рассеяния;
FRESCO — обширный код для расчёта сечения с учётом каналов передачи, возбуждения и распада;
NRV — веб-платформа, объединяющая различные подходы, включая связанные каналы.

Численная реализация требует аккуратной постановки граничных условий, точного задания потенциалов связи и учета всех физических каналов, способных внести вклад в процесс.

Роль метода в современной ядерной физике

Метод связанных каналов занимает центральное место в современной теории ядерных реакций. Он обеспечивает мост между микроскопическим описанием структуры ядра и макроскопическими наблюдаемыми характеристиками реакций. Он также даёт возможность анализировать сложные эффекты, возникающие в реакциях с участием возбуждённых состояний, и строить адекватные модели для реакций, протекающих в экстремальных условиях — при высоких энергиях, в плотной материи или при малых энергиях в астрофизических условиях.