Модель ферми-газа

Модель Ферми-газа в ядерной физике

Модель Ферми-газа представляет собой упрощённое приближение для описания структуры и свойств ядер, в котором нуклоны (протоны и нейтроны) рассматриваются как фермионы, заключённые в потенциальной яме и не взаимодействующие друг с другом напрямую, кроме как через принцип Паули. Это приближение позволяет получить качественное понимание уровней энергии, плотности состояний и некоторых термодинамических свойств ядер.

Модель исходит из следующих предпосылок:

Ядро — это система из A нуклонов, находящихся внутри объемной потенциальной ямы.
Нуклоны не взаимодействуют друг с другом напрямую, кроме антисимметризации волновой функции.
Каждый нуклон подчиняется статистике Ферми — его квантовое состояние не может быть занято другим нуклоном с теми же квантовыми числами.

Потенциальная яма и граничные условия

В простейшем варианте модель реализуется в виде трёхмерной потенциальной ямы конечной или бесконечной глубины с радиусом R, приближённо равным ядерному радиусу:

R = r₀A^1/3, r₀ ≈ 1, 2 фм.

Внутри этой ямы нуклоны свободно движутся, и волновые функции их удовлетворяют граничным условиям: они должны обращаться в ноль на границе ямы.

Для бесконечно глубокой квадратной потенциальной ямы энергия частицы задаётся как:

$$ E_{n_x,n_y,n_z} = \frac{\hbar^2 \pi^2}{2mL^2} \left(n_x^2 + n_y^2 + n_z^2\right), $$

где L — длина стороны куба (в сферическом случае заменяется на радиус R), m — масса нуклона, а n_x, n_y, n_z — целые положительные квантовые числа.

Плотность состояний и заполнение уровней

Число квантовых состояний, доступных ферми-газу в объёме фазового пространства, определяется соотношением:

$$ g(p) dp = \frac{V}{(2\pi\hbar)^3} 4\pi p^2 dp \times g_s, $$

где g_s = 2 — спиновое вырождение (для каждого типа нуклонов), V — объём ядерной области, p — импульс.

Заполнение осуществляется по принципу Паули: каждое квантовое состояние может быть занято только одним нуклоном. Наименьшая полная энергия достигается при заполнении всех состояний до некоторого максимального импульса — ферми-импульса p_F.

Общее число нуклонов выражается через интеграл по импульсному пространству:

$$ A = \frac{V}{(2\pi\hbar)^3} \int_0^{p_F} 4\pi p^2 dp \cdot g_s = \frac{V g_s}{6\pi^2 \hbar^3} p_F^3. $$

Отсюда можно выразить ферми-импульс:

$$ p_F = \hbar \left(\frac{6\pi^2 A}{g_s V} \right)^{1/3}. $$

Энергия Ферми и средняя энергия нуклона

Соответствующая максимальная энергия частицы на заполненном уровне называется энергией Ферми:

$$ E_F = \frac{p_F^2}{2m}. $$

Средняя энергия нуклона (в предположении невзаимодействующих частиц) равна:

$$ \langle E \rangle = \frac{3}{5} E_F. $$

Для ядерной материи типичные значения:

p_F ≈ 250 МэВ/c,
E_F ≈ 35 − 40 МэВ,
⟨E⟩ ≈ 22 − 25 МэВ.

Вырождение по спину и изоспину

Поскольку нуклоны бывают двух типов (протоны и нейтроны), модель рассматривает два независимых ферми-газа. Каждый из них имеет спиновое вырождение g_s = 2, но в полной модели учитываются и изоспиновые состояния. Таким образом, если ядро состоит из Z протонов и N нейтронов, ферми-импульсы будут различными:

p_F, p ∝ Z^1/3, p_F, n ∝ N^1/3.

Это приводит к различию в энергии Ферми для протонов и нейтронов, особенно в ядрах с большим избыточным числом нейтронов. Это различие критически важно для оценки стабильности ядра и симметрийной составляющей энергии связи.

Давление ферми-газа

Наличие давления в ферми-газе — результат запрета Паули: даже при абсолютном нуле температуры частицы не могут находиться в одном состоянии, поэтому распределяются по состояниям с различными импульсами. Это приводит к ненулевому вырожденному давлению, аналогичному электронному вырожденному давлению в белых карликах:

$$ P = \frac{2}{5} \frac{E}{V} = \frac{2}{5} n \langle E \rangle, $$

где n = A/V — плотность нуклонов.

Давление ферми-газа играет важную роль в устойчивости ядерной материи, а также в моделях нейтронных звёзд, где ферми-газ нейтронов определяет её макроскопические свойства.

Ограничения и критика модели

Несмотря на простоту и полезность, модель Ферми-газа обладает рядом ограничений:

Игнорируются взаимодействия между нуклонами. В реальности нуклоны взаимодействуют через сильное ядерное притяжение и короткодействующее отталкивание.
Отсутствует спаривание и корреляции. Не учитывается эффект образования пар нуклонов с противоположным спином (подобно куперовским парам в сверхпроводниках).
Не описывает оболочечную структуру. В экспериментах наблюдаются устойчивые оболочки (магические числа), требующие включения спин-орбитального взаимодействия и более сложных потенциальных моделей.
Пренебрегается кулоновским отталкиванием. В модели ферми-газа протоны не взаимодействуют кулоновским образом, что критично для тяжёлых ядер.

Тем не менее, модель даёт важное представление о плотности состояний, характерных энергиях, и термодинамических свойствах ядер. Она также лежит в основе более сложных моделей, таких как модель ядерной капли и модель оболочек, и широко используется при оценке параметров ядерного вещества в экстремальных условиях — например, при описании горячей ядерной материи в ядерных реакциях и астрофизике.

Расширения модели: температурные эффекты и релативистская обобщённость

При ненулевой температуре распределение по энергиям описывается функцией Ферми-Дирака:

$$ f(E) = \frac{1}{e^{(E - \mu)/kT} + 1}, $$

где μ — химический потенциал. С ростом температуры появляются возбуждённые состояния, увеличивается средняя энергия, и часть частиц оказывается над уровнем Ферми.

В пределе высоких температур модель переходит в классическую максвелловскую, но при температурах порядка 1–3 МэВ (типичных для ядерных реакций) квантовые ферми-эффекты всё ещё играют ключевую роль.

Также существует релативистская модель ферми-газа, в которой используется полная энергия $E = \sqrt{p^2 c^2 + m^2 c^4}$. Такие модели находят применение при описании ядерного вещества в условиях высоких плотностей (нейтронные звёзды) или при высоких энергиях (коллайдерные эксперименты).

Применение в астрофизике и ядерной материи

Модель ферми-газа используется для моделирования:

внутренней структуры нейтронных звёзд;
состояния вырожденной ядерной материи;
поведения вещества в условиях высоких температур и плотностей;
оценки энергии связи и термодинамических потенциалов.

Она служит фундаментом для построения уравнения состояния ядерной материи — ключевого элемента в моделях эволюции звёзд, слияний нейтронных звёзд и других процессов в ядерной астрофизике.