Период полураспада и среднее время жизни

Радиоактивный распад является случайным (стохастическим) процессом, в основе которого лежит вероятность распада отдельного нестабильного ядра в единицу времени. Невозможно предсказать, в какой момент конкретное ядро распадётся, но для большого числа ядер поведение подчиняется строгим статистическим законам. Это приводит к введению ключевых физических величин: периода полураспада и среднего времени жизни.

Основное уравнение радиоактивного распада

Пусть N(t) — число нераспавшихся ядер в момент времени t. Закон радиоактивного распада записывается в виде:

$$ \frac{dN(t)}{dt} = -\lambda N(t) $$

где λ — постоянная распада, характеризующая вероятность распада одного ядра в единицу времени.

Решение дифференциального уравнения имеет вид:

N(t) = N0e−λt

где N0 — число ядер в начальный момент времени t = 0.

Период полураспада

Период полураспада T1/2 — это время, за которое распадается половина первоначального количества ядер:

$$ N(T_{1/2}) = \frac{N_0}{2} $$

Подставляя в закон распада:

$$ \frac{N_0}{2} = N_0 e^{-\lambda T_{1/2}} \Rightarrow \ln 2 = \lambda T_{1/2} $$

Отсюда:

$$ T_{1/2} = \frac{\ln 2}{\lambda} \approx \frac{0.693}{\lambda} $$

Таким образом, период полураспада обратно пропорционален постоянной распада. Чем выше вероятность распада (т.е. больше λ), тем быстрее происходит убывание числа ядер.

Среднее время жизни

Среднее время жизни τ ядра — это математическое ожидание времени, в течение которого происходит распад. Оно вычисляется как:

τ = ∫0∞t ⋅ λe−λtdt

Решая интеграл:

$$ \tau = \frac{1}{\lambda} $$

Таким образом, среднее время жизни больше периода полураспада:

$$ \tau = \frac{T_{1/2}}{\ln 2} $$

или:

T1/2 = τ ⋅ ln 2

Смысл и различия между T1/2 и τ

Несмотря на близкую связь между этими величинами, они имеют различный физический смысл:

  • Период полураспада — это чисто экспериментально удобная характеристика: сколько времени потребуется, чтобы количество ядер уменьшилось вдвое.
  • Среднее время жизни — более фундаментальная статистическая величина, используемая в теоретических моделях, включая квантовую механику и ядерную физику.

Радиоактивность и экспоненциальный закон

Экспоненциальный характер закона радиоактивного распада отражает независимость вероятности распада от возраста ядра. Каждый момент времени для ядра — как бы «первый»: вероятность распада остается постоянной вне зависимости от того, сколько времени прошло с момента его образования. Это коренное отличие от, например, процессов старения в биологии или износа в технике.

Число распадов за промежуток времени

Число распавшихся ядер за малый промежуток времени dt:

$$ dN = -\frac{dN(t)}{dt} dt = \lambda N(t) dt $$

Этот дифференциал описывает мгновенную активность вещества.

Активность радиоактивного источника

Активность A(t) — это число распадов в единицу времени, определяемое как:

A(t) = λN(t) = λN0e−λt

В начальный момент времени активность максимальна:

A0 = λN0

Активность также убывает по экспоненциальному закону.

Масштаб времени для различных изотопов

Разные радиоактивные изотопы характеризуются очень разными временами жизни — от долей секунды до миллиардов лет:

  • Углерод-14: T1/2 ≈ 5730 лет.
  • Уран-238: T1/2 ≈ 4.5 × 109 лет.
  • Полоний-214: T1/2 ≈ 1.6 × 10−4 с.

Такая широта диапазона времён делает ядерные методы универсальными для задач датирования, медицины, энергетики и физики элементарных частиц.

Распределение времен жизни отдельных ядер

Вероятность того, что конкретное ядро распадётся в интервале [t, t + dt], определяется экспоненциальным распределением:

P(t)dt = λe−λtdt

Это распределение характеризуется двумя важными свойствами:

  1. Нормированность:

∫0∞λe−λtdt = 1

  1. Среднее значение:

$$ \langle t \rangle = \int_0^\infty t \cdot \lambda e^{-\lambda t} dt = \frac{1}{\lambda} = \tau $$

Таким образом, среднее время жизни — это среднее значение из экспоненциального распределения времени до распада.

Практические аспекты измерения

Для измерения T1/2 и τ используют:

  • Счетчики Гейгера и сцинтилляционные детекторы;
  • Электронную спектроскопию (для короткоживущих ядер);
  • Радиохимические методы (в случае длиннопериодных изотопов);
  • Метод усреднения по множеству распадов (для определения τ).

Использование понятий в разных областях

Период полураспада и среднее время жизни находят широкое применение в:

  • Геохронологии (датирование пород по изотопам);
  • Медицине (радиоизотопная диагностика и терапия);
  • Физике высоких энергий (жизни элементарных частиц);
  • Астрофизике (исследование космического нуклеосинтеза).

Эти величины являются важнейшими параметрами в ядерной физике, обеспечивающими количественное описание процессов, происходящих на уровне атомных ядер и субатомных частиц.

Оглавление