Многие тела в ядерной физике: методы и подходы
Система, состоящая из большого числа взаимодействующих частиц, называется системой многих тел. В ядерной физике под такими системами понимаются атомные ядра, в которых взаимодействуют протоны и нейтроны — нуклоны. Эти взаимодействия сложны, нелинейны, и в ряде случаев требуют учета квантовых корреляций, коллективных возбуждений и эффектов взаимодействия дальнего и ближнего порядка.
Ядро — квантово-механическая система, подчиняющаяся уравнению Шрёдингера. Однако точное решение задачи для A-частичной системы невозможно при A ≳ 4 из-за экспоненциального роста размерности пространства состояний. Поэтому в ядерной физике применяются приближённые методы, разработанные в рамках теории многих тел.
Полный гамильтониан ядра можно записать в виде:
$$ \hat{H} = \sum_{i=1}^{A} \hat{T}_i + \sum_{i<j}^{A} \hat{V}_{ij} + \sum_{i<j<k}^A \hat{V}_{ijk} + \ldots $$
где T̂i — кинетическая энергия i-го нуклона, V̂ij — двухчастичное взаимодействие, а V̂ijk — трёхчастичное взаимодействие. В ряде моделей учитывается только парануклонное взаимодействие, однако трёхтельные силы также важны, особенно для точного описания легких ядер и насыщения ядерной материи.
Одним из первых приближений является приближение независимых частиц, в котором каждый нуклон движется в среднем поле, создаваемом всеми остальными нуклонами. Это приближение приводит к оболочечной модели ядра, в которой нуклоны заполняют квантовые уровни, подобно электронам в атоме.
Оболочечная модель использует эффективный одночастичный потенциал U(r⃗), чаще всего — потенциал Вудса-Саксона с добавлением спин-орбитального члена. Энергетический спектр нуклонов, получаемый в таком потенциале, объясняет магические числа и устойчивость ядер с заполненными оболочками.
Однако среднеполевая аппроксимация не учитывает корреляции, возникающие при взаимодействии между нуклонами за пределами среднего поля. Для учета таких эффектов разработаны более сложные методы теории многих тел.
Метод Хартри–Фока (HF) — это первый шаг к улучшению среднего поля. Волновая функция системы приближается слабо антисимметризованным произведением одночастичных функций (детерминант Слэтера):
$$ \Psi(\vec{r}_1, \vec{r}_2, \ldots, \vec{r}_A) = \frac{1}{\sqrt{A!}} \det[\varphi_i(\vec{r}_j)] $$
Метод Хартри–Фока минимизирует полную энергию системы по одночастичным функциям при фиксированной антисимметрии, получая таким образом оптимальное среднее поле. Однако корреляции, например, короткодействующие или дальнодействующие коллективные возбуждения, остаются вне описания.
Для учета корреляций сверх Хартри–Фока применяется теория возмущений, особенно в форме диаграмм Брейюина–Гольдстоуна. Волновая функция и энергия системы корректируются поправками к базовому (HF) уровню:
E = E(0) + E(1) + E(2) + ⋯
Диаграммная техника позволяет учитывать вклады от различных типов взаимодействий, вплоть до взаимодействий с виртуальными возбуждениями и обменными корреляциями.
Парные корреляции играют ключевую роль в структуре ядер, особенно в области сверхтекучести. Метод, аналогичный теории сверхпроводимости БКШ (BCS), применяется к нуклонам, которые образуют куперовские пары.
Энергия парных взаимодействий минимизируется при условии существования аномального среднего:
Δ = ∑kVkk′ukvk
где uk, vk — коэффициенты БКШ, описывающие вероятность занятости и незанятости квантовых уровней. Такое описание приводит к разрыву в энергетическом спектре и объясняет особенности массовых дефектов и уровней возбуждения в четно-четных ядрах.
Коллективные возбуждения, такие как гигантские резонансы, описываются в рамках рандомной фазовой аппроксимации. Этот метод учитывает коллективные осцилляции в плотности нуклонов за пределами Хартри–Фока.
Волновая функция возбуждённого состояния описывается как линейная комбинация одночастично-дырочных возбуждений:
|Ψν⟩ = ∑ph(Xphνap†ah − Yphνah†ap)|Ψ0⟩
где Xphν, Yphν — амплитуды возбуждения и дезвозбуждения, а ap†, ah — операторы рождения и уничтожения. Решение RPA-уравнений позволяет получить энергии и структуры коллективных мод.
Альтернативным подходом к описанию системы многих тел является метод функционала плотности энергии (EDF, Energy Density Functional). В этом методе основным объектом выступает не волновая функция, а плотность частиц и плотность тока. Энергия ядра записывается как функционал от этих величин:
E[ρ, τ, J⃗] = ∫ℰ(r⃗)d3r
Подход EDF позволяет строить универсальные описания для широкого круга ядерных систем — от легких до сверхтяжёлых. Наиболее известны функционалы типа Скайрма, Гогни и RMF (релятивистская теория среднего поля).
Современные вычислительные возможности позволили реализовать ab initio подходы, основанные на решении уравнения Шрёдингера с реалистичными NN- и 3N-взаимодействиями. Среди них:
Эти подходы особенно эффективны для легких ядер (до A ∼ 20), но в последнее десятилетие расширяются на среднетяжелые системы благодаря оптимизации алгоритмов и использованию эффективных взаимодействий, полученных с помощью методов подобия (SRG).
Теория многих тел применяется не только к конечным ядрам, но и к ядерной материи — идеализированной бесконечной системе нуклонов. Такие модели позволяют изучать свойства симметричной ядерной материи и нейтронной материи, что критично для описания:
Здесь применяются как нефеноменологические методы (Brueckner-Hartree-Fock, Green’s Function Monte Carlo), так и подходы, основанные на хиральной эффективной теории поля.
Современные направления теории многих тел включают использование методов машинного обучения, тензорных сетей, а также квантовых симуляторов для описания сложных ядерных систем. К примеру, вариационные квантовые алгоритмы позволяют эффективно представлять сильно скоррелированные состояния и прогнозировать свойства ядер, недоступных эксперименту.
Таким образом, теория многих тел остаётся фундаментальным инструментом ядерной физики, объединяя строгие математические методы, приближения и современные вычислительные технологии для описания сложнейших систем природы.