Закон радиоактивного распада

Экспоненциальный характер распада

Радиоактивный распад представляет собой спонтанный процесс превращения нестабильных ядер атомов в более стабильные состояния с испусканием элементарных частиц и/или электромагнитного излучения. Особенностью этого процесса является его вероятностный характер: невозможно точно предсказать момент распада конкретного ядра, однако можно с высокой точностью описать статистическое поведение большого числа ядер.

Пусть в начальный момент времени t = 0 имеется N0 нестабильных ядер. Тогда количество оставшихся нераспавшихся ядер в момент времени t подчиняется закону:

N(t) = N0e−λt

где:

  • N(t) — число нераспавшихся ядер в момент времени t,
  • λ — постоянная распада, характеризующая вероятность распада одного ядра в единицу времени,
  • e — основание натурального логарифма.

Этот закон отражает экспоненциальное уменьшение числа нестабильных ядер во времени.

Физический смысл постоянной распада

Постоянная распада λ имеет размерность [время−1]. Она показывает, какая доля ядер в среднем распадается за единицу времени. Например, если λ = 0, 001 с−1, то в среднем 0.1% ядер распадается каждую секунду.

Также можно определить вероятность распада ядра за бесконечно малый промежуток времени dt:

dW = λ dt

Это фундаментальное выражение лежит в основе вывода закона радиоактивного распада.

Среднее время жизни и период полураспада

Для характеристики скорости распада часто используют два взаимосвязанных параметра:

  • Среднее время жизни τ:

    $$ \tau = \frac{1}{\lambda} $$

    Оно отражает среднюю продолжительность существования ядра до момента распада.

  • Период полураспада T1/2:

    $$ T_{1/2} = \frac{\ln 2}{\lambda} \approx \frac{0{,}693}{\lambda} $$

    Период полураспада — это время, за которое распадается половина имеющихся радиоактивных ядер.

В любой момент времени выполняется:

$$ N(T_{1/2}) = \frac{N_0}{2} $$

Производная форма закона

Темп распада ядер (активность) определяется скоростью изменения количества нераспавшихся ядер:

$$ \frac{dN}{dt} = -\lambda N(t) $$

Отрицательный знак указывает на уменьшение числа ядер с течением времени. Это дифференциальное уравнение с начальным условием N(0) = N0 приводит к уже упомянутому экспоненциальному решению.

Активность радиоактивного вещества

Активность A(t) — это число распадов в единицу времени:

$$ A(t) = -\frac{dN}{dt} = \lambda N(t) = \lambda N_0 e^{-\lambda t} $$

Активность также убывает по экспоненциальному закону. В начальный момент времени:

A0 = λN0

Единицы измерения активности

  • Беккерель (Бк): один распад в секунду (СИ).
  • Кюри (Ки): устаревшая единица, 1 Ки = 3, 7 ⋅ 1010 Бк, соответствует активности одного грамма радия-226.

Вероятностная интерпретация распада

В статистической механике распад отдельного ядра трактуется как случайное событие с постоянной вероятностью на единицу времени. Это означает, что ядра не “стареют”: вероятность распада одного конкретного ядра не зависит от его “возраста”. Это свойство описывается экспоненциальным законом и отличает радиоактивный распад от процессов, зависящих от накопления износа.

Суперпозиция нескольких распадов

Если радиоактивный нуклид может распадаться по нескольким конкурирующим каналам, каждый с собственной постоянной распада λi, то эффективная постоянная распада равна сумме:

λ = ∑iλi

Соответственно, полный период полураспада и среднее время жизни изменяются:

$$ T_{1/2} = \frac{\ln 2}{\sum \lambda_i}, \qquad \tau = \frac{1}{\sum \lambda_i} $$

В этом случае можно говорить о разветвлённом распаде, и каждому каналу соответствует вероятность (ветвление):

$$ P_i = \frac{\lambda_i}{\sum \lambda_j} $$

Цепи радиоактивного распада

Во многих случаях дочерние ядра, образующиеся при распаде, сами являются радиоактивными. Тогда возникает цепочка радиоактивных превращений:

$$ A \xrightarrow{\lambda_1} B \xrightarrow{\lambda_2} C \dots $$

Для математического описания количества ядер на каждом этапе используется система дифференциальных уравнений. Например, для двухчленной цепочки:

$$ \frac{dN_1}{dt} = -\lambda_1 N_1 $$

$$ \frac{dN_2}{dt} = \lambda_1 N_1 - \lambda_2 N_2 $$

Решения этих уравнений позволяют рассчитать поведение системы во времени, включая установление радиоактивного равновесия, когда $\frac{dN_2}{dt} = 0$.

Типы радиоактивного распада

Основные виды радиоактивного распада:

  • Альфа-распад — испускание альфа-частицы (4He);
  • Бета-распад — превращение нейтрона в протон (или наоборот) с испусканием электрона/позитрона и нейтрино;
  • Гамма-излучение — испускание фотонов при переходе ядра из возбужденного состояния в основное;
  • Спонтанное деление — деление тяжёлых ядер на более лёгкие фрагменты;
  • Протонный и нейтронный распад — выбрасывание одиночных нуклонов;
  • К-захват — захват ядром одного из своих электронов с последующим превращением протона в нейтрон.

Радиоактивность в приложениях

Понимание закона радиоактивного распада критически важно в различных областях науки и техники:

  • Ядерная энергетика — расчёт выгорания топлива и активности продуктов деления;
  • Геохронология — определение возраста пород по накоплению дочерних изотопов (методы U–Pb, K–Ar, C–14 и др.);
  • Медицина — применение радионуклидов в диагностике и терапии;
  • Охрана окружающей среды — анализ загрязнений радионуклидами;
  • Космология — изучение процессов нуклеосинтеза и радиоактивного нагрева вещества в ранней Вселенной и сверхновых.

Математическое моделирование и анализ

Для решения задач, связанных с законом радиоактивного распада, широко используются численные методы, особенно при наличии цепочек распадов или при моделировании сложных физических процессов в реакторах. Также важно учитывать поправки на фоновую активность, поглощение излучения, влияние химического окружения на скорость распада (например, при K-захвате) и статистические флуктуации.

Оглавление