Формула Сэбина

Формула Сэбина: теория, вывод, применение

При распространении звуковых волн в замкнутом пространстве происходит многократное отражение волн от стен, пола, потолка и других поверхностей, приводящее к возникновению реверберации. Реверберация — это постепенное затухание звука в помещении после прекращения его источника. Одним из главных количественных параметров, характеризующих реверберационные свойства помещения, является время реверберации — промежуток времени, за который уровень звукового давления уменьшается на 60 дБ по сравнению с исходным значением.

Суть формулы Сэбина

Для количественной оценки времени реверберации в помещении американский физик Уоллес Клемент Сэбин в конце XIX века разработал эмпирическую формулу, которая впоследствии получила его имя. Эта формула стала основой архитектурной акустики и используется по сей день при проектировании концертных залов, студий звукозаписи, театров и других помещений, где важно контролировать акустические свойства.

Формула Сэбина:

$$ T = \frac{0{,}161 \cdot V}{A} $$

где:

  • T — время реверберации (в секундах);
  • V — объем помещения (в м³);
  • A — эквивалентная площадь звукопоглощения (в м² Сэбина).

Единица “сэбин” и эквивалентная площадь поглощения

Эквивалентная площадь поглощения A выражается в сэбинах и рассчитывается как сумма произведений площадей всех поверхностей помещения на их коэффициенты звукопоглощения:

A = ∑iαi ⋅ Si

где:

  • αi — коэффициент звукопоглощения i-й поверхности (безразмерная величина от 0 до 1);
  • Si — площадь этой поверхности (в м²).

Коэффициент поглощения зависит от материала и частоты звука. Например, бетонная стена имеет коэффициент около 0,02, а тяжелые театральные шторы — около 0,6–0,8.

Единица измерения — 1 сэбин — соответствует полной (100 %) звукопоглощающей поверхности площадью 1 м² (т. е. α = 1).

Теоретический вывод формулы Сэбина

Формула Сэбина была первоначально выведена эмпирически, однако позднее получила теоретическое обоснование на основе закона сохранения энергии и кинетической теории.

Основные допущения:

  1. Распространение звука в помещении считается равномерным (диффузным);
  2. Поглощение происходит только при столкновении звуковых волн с поверхностями;
  3. Звук распространяется со скоростью c ≈ 343 м/с (при T = 20∘C).

Общий подход:

  1. Энергия звуковой волны в помещении постепенно убывает вследствие поглощения;
  2. Потери энергии на каждом отражении зависят от коэффициентов звукопоглощения поверхностей;
  3. Среднее расстояние между столкновениями звуковой волны со стенами — $\frac{4V}{S}$, где S — суммарная площадь всех поверхностей;
  4. Затухание логарифмически связано со временем.

Результат математического моделирования дает выражение, эквивалентное формуле Сэбина с численным коэффициентом 0, 161, учитывающим скорость звука и преобразование логарифмической шкалы (отнесённой к 60 дБ).

Условия применимости формулы Сэбина

Формула Сэбина применима при следующих условиях:

  • Диффузное звуковое поле: звук должен равномерно заполнять всё помещение, что возможно лишь при достаточно большом числе отражений и отсутствии выраженных фокусирующих форм (например, куполов).
  • Низкий средний коэффициент поглощения: ᾱ < 0, 2. При высоких коэффициентах (в сильно заглушённых помещениях) формула переоценивает время реверберации.
  • Отсутствие крупных акустических аномалий: неровностей в рассеянии, фокусировки, сильных стоячих волн и т.п.

Для помещений с высоким уровнем поглощения и сложной геометрией следует использовать более сложные модели, например, формулу Эйринга, которая учитывает экспоненциальное затухание энергии.

Примеры расчётов

Пример 1. Помещение объёмом V = 200 м3. Потолок, пол и стены облицованы материалами с коэффициентом поглощения α = 0, 1, общая площадь всех поверхностей S = 250 м2.

A = α ⋅ S = 0, 1 ⋅ 250 = 25 сэбинов

$$ T = \frac{0{,}161 \cdot 200}{25} = 1{,}288 \, \text{с} $$

Пример 2. Та же комната, но добавлены звукоизоляционные панели (добавка 40 м² с α = 0, 6):

A = 25 + 0, 6 ⋅ 40 = 25 + 24 = 49 сэбинов

$$ T = \frac{0{,}161 \cdot 200}{49} \approx 0{,}66 \, \text{с} $$

Как видно, увеличение звукопоглощения почти вдвое сократило время реверберации, что критично, например, для студий звукозаписи.

Акустические последствия и оптимальные значения

В зависимости от назначения помещения оптимальное время реверберации различается:

Тип помещения Рекомендуемое T (с)
Студия звукозаписи 0,3 – 0,6
Классная аудитория 0,6 – 0,8
Конференц-зал 0,7 – 1,0
Концертный зал (для речи) 1,0 – 1,2
Концертный зал (для музыки) 1,5 – 2,2
Церковь, собор 2,0 – 4,0

Избыточное реверберационное время ухудшает разборчивость речи и снижает чёткость звучания, в то время как чрезмерное поглощение может привести к “сухому” звучанию без естественности и пространства.

Расширения формулы Сэбина и современные подходы

1. Формула Эйринга (Eyring):

$$ T = \frac{0{,}161 \cdot V}{-S \cdot \ln(1 - \bar{\alpha})} $$

где ᾱ — средневзвешенный коэффициент звукопоглощения. Эта формула точнее при больших α, особенно в заглушённых помещениях.

2. Формула Нортона (Norton) и другие уточнённые модели включают в себя:

  • рассеяние;
  • направленность источников;
  • неоднородность поглощения;
  • влияние мебели и публики;
  • неодновременность реверберационных составляющих (предельные, ранние отражения и т.д.).

В вычислительной акустике также применяются методы трассировки лучей, волновые уравнения, стохастические модели и модальная акустика.

Значение формулы Сэбина в прикладной акустике

Формула Сэбина является основным инструментом акустиков при первичном проектировании помещений. Она позволяет быстро оценить, насколько сбалансирована акустическая среда, и определить необходимость применения звукопоглощающих или звукорассеивающих материалов. Несмотря на свою простоту, эта формула даёт адекватные результаты в большинстве практических задач, особенно при проектировании учебных аудиторий, конференц-залов и жилых помещений.

Оглавление