Гармонические колебания

Понятие гармонического колебания

Гармоническое колебание — это периодическое изменение физической величины, описываемое синусоидальной или косинусоидальной функцией времени. В акустике под этим чаще всего понимается гармоническое изменение смещения, скорости или давления частиц упругой среды, в которой распространяется звук.

Основная математическая форма записи гармонического колебания:

x(t) = Acos (ωt + φ)

где:

  • x(t) — мгновенное значение смещения в момент времени t,
  • A — амплитуда колебания,
  • ω = 2πf — циклическая (круговая) частота,
  • f — частота колебания,
  • φ — начальная фаза колебания.

Гармоническое колебание является фундаментальным элементом любой теории, касающейся волн и звуковых явлений. Любое сложное периодическое движение можно разложить в сумму гармонических колебаний — основа для анализа спектров звуков.

Кинематика гармонического колебания

Производные от функции смещения дают скорость и ускорение:

  • Скорость:

$$ v(t) = \frac{dx}{dt} = -A\omega \sin(\omega t + \varphi) $$

  • Ускорение:

$$ a(t) = \frac{d^2x}{dt^2} = -A\omega^2 \cos(\omega t + \varphi) = -\omega^2 x(t) $$

Последнее равенство показывает, что ускорение пропорционально смещению и направлено в сторону равновесного положения — это главный признак гармонического колебания.

Уравнение гармонического колебания

Исходя из закона второго Ньютона и предположения о наличии восстанавливающей силы:

F = −kx

Применяя второй закон Ньютона:

$$ ma = -kx \Rightarrow m\frac{d^2x}{dt^2} + kx = 0 $$

Это дифференциальное уравнение второго порядка, описывающее гармоническое колебание. Решением будет функция:

$$ x(t) = A \cos\left(\sqrt{\frac{k}{m}} t + \varphi\right) $$

Таким образом, циклическая частота колебаний:

$$ \omega = \sqrt{\frac{k}{m}} $$

Период и частота

Период — это время одного полного колебания:

$$ T = \frac{2\pi}{\omega} $$

Частота — это количество полных колебаний в единицу времени:

$$ f = \frac{1}{T} = \frac{\omega}{2\pi} $$

Эти параметры определяют темп, с которым происходят колебания, и играют ключевую роль в определении высоты звука в акустике.

Энергия гармонического осциллятора

В отсутствии трения и других потерь энергия в системе сохраняется. Полная механическая энергия:

$$ E = E_k + E_p = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}kx^2 $$

Подставляя соответствующие выражения:

  • Кинетическая энергия:

$$ E_k = \frac{1}{2}mA^2\omega^2 \sin^2(\omega t + \varphi) $$

  • Потенциальная энергия:

$$ E_p = \frac{1}{2}kA^2 \cos^2(\omega t + \varphi) $$

Сумма этих энергий постоянна и равна:

$$ E = \frac{1}{2}kA^2 = \frac{1}{2}mA^2\omega^2 $$

Это показывает, что энергия гармонического осциллятора зависит от квадрата амплитуды и массы (или жёсткости системы).

Фаза и начальные условия

Фаза колебания определяет положение колеблющейся величины в любой момент времени относительно начала отсчета. Начальная фаза φ устанавливается начальными условиями:

  • если x(0) = A, φ = 0,
  • если x(0) = 0, $\varphi = \frac{\pi}{2}$ (или $-\frac{\pi}{2}$, в зависимости от направления движения).

Сравнение фаз двух колебаний позволяет установить, происходят ли они синфазно, противофазно или с некоторым фазовым сдвигом.

Графическая интерпретация

Графики гармонических колебаний — синусоиды или косинусоиды. Они симметричны относительно среднего положения. Максимальные значения достигаются при аргументе функции, равном nπ (для косинуса) или (2n + 1)π/2 (для синуса).

Фазовый портрет колебаний (график зависимости v(x)) — это эллипс (или окружность в случае ω = 1). Он позволяет визуализировать циклический характер движения без явного указания времени.

Сложение гармонических колебаний

Сложение двух или более гармонических колебаний с одинаковыми частотами, но разными фазами и амплитудами, может быть сведено к одному гармоническому колебанию с новой амплитудой и фазой. Пример:

x1 = A1cos (ωt),  x2 = A2cos (ωt + δ)

Суммарное колебание:

x(t) = Acos (ωt + φ)

где

$$ A = \sqrt{A_1^2 + A_2^2 + 2A_1A_2\cos\delta},\quad \tan\varphi = \frac{A_2 \sin\delta}{A_1 + A_2 \cos\delta} $$

Этот процесс лежит в основе явления интерференции звуков и формирования биений.

Реальные системы и затухание

В реальных физических системах наблюдается затухание колебаний за счёт действия сопротивлений (вязкости среды, трения и т. д.). Уравнение затухающего гармонического колебания:

x(t) = Ae−γtcos (ωt + φ)

где γ — коэффициент затухания. В зависимости от значения γ, колебания могут быть слабо затухающими, критическими или апериодическими.

Затухание сопровождается постепенным уменьшением амплитуды, но частота колебаний при слабом затухании практически не изменяется.

Роль гармонических колебаний в акустике

Гармонические колебания составляют основу всех звуковых процессов:

  • Монохроматические звуковые волны соответствуют чистым гармоническим колебаниям давления воздуха.
  • Комплексные звуки (например, музыкальные ноты) представляют собой сумму гармоник.
  • Разложение любого периодического акустического сигнала в ряд Фурье — это разложение на совокупность гармонических колебаний.
  • Анализ гармонического содержания сигнала лежит в основе спектральной акустики и теории музыкального тембра.

Связь с волновыми процессами

Гармоническое колебание источника возбуждает гармоническую волну в упругой среде. В частности, для звука в воздухе это означает периодическое изменение давления, распространяющееся со скоростью звука. Таким образом, распространение акустической волны начинается с локального гармонического возмущения.

Функция волны в одной точке:

x(t) = Acos (ωt + φ)

Функция волны в пространстве и времени:

x(x, t) = Acos (kx − ωt + φ)

где $k = \frac{2\pi}{\lambda}$ — волновое число, λ — длина волны. Эта связь подчеркивает фундаментальность гармонического колебания в акустике и всей физике волн.

Оглавление