Колебания — это движения или процессы, которые повторяются во времени с определённой периодичностью. В физике под колебаниями часто понимаются механические колебания, связанные с отклонением тела от положения равновесия и его возвращением обратно под действием сил, стремящихся восстановить равновесие.
Простейшим примером является гармонический осциллятор — система, в которой сила, возвращающая тело к положению равновесия, пропорциональна смещению и направлена противоположно ему. Такое движение описывается законом:
x(t) = Acos (ωt + φ0)
где:
Величины, характеризующие колебания:
Уравнение движения для системы с вынужденными колебаниями и затуханием:
$$ m\ddot{x} + b\dot{x} + kx = F_0 \cos(\omega t) $$
где:
Резонанс — явление резкого увеличения амплитуды вынужденных колебаний при совпадении частоты внешнего воздействия с собственной частотой колебательной системы. Вблизи резонанса влияние сопротивления возрастает, и форма резонансной кривой (амплитуда vs. частота) определяется коэффициентом затухания.
В реальных системах колебания сопровождаются потерями энергии, что приводит к затуханию. Амплитуда затухающих колебаний уменьшается со временем. Уравнение затухающих гармонических колебаний:
x(t) = A0e−γtcos (ω′t + φ0)
где:
Характеристика затухания — логарифмический декремент:
$$ \delta = \ln \frac{A(t)}{A(t+T)} $$
Когда колебания распространяются в пространстве, возникает волновое движение. Волна — это процесс переноса энергии без переноса вещества. В механике речь идёт о механических волнах, распространяющихся в упругих средах за счёт взаимодействия между частицами.
Типы механических волн:
$$ v = \lambda \nu = \frac{\omega}{k} $$
Длина волны λ — расстояние между двумя ближайшими точками, колеблющимися в одинаковой фазе.
Волновое число k:
$$ k = \frac{2\pi}{\lambda} $$
$$ v_f = \frac{\omega}{k} $$
$$ v_g = \frac{d\omega}{dk} $$
Волновое уравнение — фундаментальное уравнение для описания линейных волн в непрерывной среде. В одномерном случае:
$$ \frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = v^2 \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} $$
Решение этого уравнения — суперпозиция двух волн, бегущих в противоположных направлениях:
u(x, t) = f(x − vt) + g(x + vt)
Интерференция — наложение двух или более волн, приводящее к возникновению устойчивого распределения амплитуд. Условия интерференции зависят от разности фаз и когерентности источников.
Дифракция — огибание волнами препятствий и распространение в области геометрической тени. Она особенно заметна, когда размеры препятствий сравнимы с длиной волны.
Стоячая волна возникает при интерференции двух волн, бегущих навстречу друг другу с одинаковыми амплитудами и частотами. В таких волнах энергия не переносится, а колебания происходят в фиксированных точках (узлах и пучностях):
y(x, t) = 2Asin (kx)cos (ωt)
Стоячие волны играют ключевую роль в резонансных явлениях (например, в воздушных столбах органных труб, струнах музыкальных инструментов, полостях акустических резонаторов).
Для описания распространения звуковых волн в жидкости или газе используются уравнение непрерывности и уравнение Эйлера в линейной аппроксимации:
$$ \frac{\partial \rho'}{\partial t} + \rho_0 \nabla \cdot \vec{v} = 0 $$
$$ \frac{\partial \vec{v}}{\partial t} = -\frac{1}{\rho_0} \nabla p' $$
где ρ′ — возмущение плотности, p′ — возмущение давления, v⃗ — скорость частиц среды, ρ0 — равновесная плотность.
Из этих уравнений выводится волновое уравнение для давления:
$$ \frac{\partial^2 p'}{\partial t^2} = c^2 \nabla^2 p' $$
где c — скорость звука в среде.
Акустический импеданс — важная характеристика среды, определяющая сопротивление распространению звуковых волн:
Z = ρc
где ρ — плотность среды, c — скорость звука. На границе двух сред с различными импедансами происходит частичное отражение и преломление волны.
При линейных условиях выполняется принцип суперпозиции: результирующее возмущение в каждой точке пространства равно сумме возмущений от отдельных волн. Это позволяет описывать сложные волновые картины как суммы простейших решений — особенно важно при изучении интерференции, дифракции, мод и гармоник.
Энергия, переносимая волной, определяется как сумма кинетической и потенциальной энергии, приходящаяся на единицу объема среды. Для звуковой волны:
I(t) = p′(t) ⋅ v(t)
$$ \langle I \rangle = \frac{1}{2} \rho_0 c \omega^2 A^2 $$
где A — амплитуда колебаний.
Энергия распространяется с групповой скоростью и может быть частично отражена, поглощена или рассеяна при взаимодействии с преградами и неоднородностями.
Эти принципы составляют основу классической акустики и волновой физики, лежащей в основе широкого спектра физических, инженерных и прикладных явлений — от звуковых колебаний до электромагнитных и квантовых волн.