Механический резонанс

Понятие механического резонанса

Механическим резонансом называют явление резкого возрастания амплитуды колебаний колебательной системы при внешнем периодическом воздействии, когда частота внешней силы близка или совпадает с собственной частотой системы. Это явление имеет фундаментальное значение в физике колебаний и акустике, так как лежит в основе работы многих устройств и наблюдается во множестве природных и технических систем.

Колебательная система и собственная частота

Любая система, обладающая массой и упругостью, может совершать свободные колебания. Если такую систему вывести из положения равновесия и предоставить самой себе, она будет совершать колебания с определённой частотой, зависящей от её физических параметров: массы, жёсткости, длины и т.п. Эта частота называется собственной или резонансной частотой.

Для простого гармонического осциллятора (например, масса на пружине) собственная частота определяется выражением:

$$ \omega_0 = \sqrt{\frac{k}{m}}, \quad f_0 = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{k}{m}}, $$

где k — жёсткость пружины, m — масса тела.

Вынужденные колебания и резонанс

Если на систему действует внешняя гармоническая сила:

F(t) = F₀cos (ωt),

то она начинает совершать вынужденные колебания. В начальный момент система испытывает переходный процесс, после чего выходит на установившийся режим. В этом режиме колебания происходят с частотой внешней силы ω, но амплитуда зависит от соотношения ω и собственной частоты ω₀.

Когда ω ≈ ω₀, наступает резонанс: амплитуда вынужденных колебаний достигает максимального значения. При этом амплитуда может стать во много раз больше амплитуды внешней силы — особенно если затухание мало.

Математическое описание резонанса

Рассмотрим уравнение вынужденных колебаний с демпфированием:

$$ m\ddot{x} + b\dot{x} + kx = F_0 \cos(\omega t), $$

где b — коэффициент вязкого трения. Решение этого уравнения в установившемся режиме имеет вид:

x(t) = A(ω)cos (ωt − φ),

где амплитуда A(ω) определяется формулой:

$$ A(\omega) = \frac{F_0/m}{\sqrt{(\omega_0^2 - \omega^2)^2 + (2\beta\omega)^2}}, \quad \beta = \frac{b}{2m}. $$

Максимум амплитуды наступает при:

$$ \omega_\text{рез} = \sqrt{\omega_0^2 - 2\beta^2}. $$

При малом демпфировании β ≪ ω₀ это значение близко к ω₀.

Кривая резонанса

График зависимости амплитуды от частоты внешнего воздействия называют резонансной кривой. Характерные особенности резонансной кривой:

• Наличие резкого пика при ω ≈ ω₀,
• Ширина пика зависит от величины демпфирования: чем меньше трение, тем уже и выше резонансный пик.

Добротность колебательной системы

Величина, характеризующая степень выраженности резонанса, называется добротностью:

$$ Q = \frac{\omega_0}{2\beta} = \frac{1}{R} \sqrt{\frac{L}{C}} \quad \text{(в электрических аналогах)}, $$

в механике:

$$ Q = \frac{m\omega_0}{b}. $$

Добротность численно равна отношению энергии, запасённой в системе, к энергии, теряемой за один цикл колебаний. Высокая добротность означает узкий резонанс и малое затухание.

Фазовый сдвиг при резонансе

При вынужденных колебаниях важную роль играет не только амплитуда, но и фазовый сдвиг между внешней силой и колебаниями системы. Величина фазового сдвига φ определяется как:

$$ \tan \varphi = \frac{2\beta\omega}{\omega_0^2 - \omega^2}. $$

При ω ≪ ω₀ сдвиг близок к нулю (в фазе), при ω = ω₀ — φ = π/2, а при ω ≫ ω₀ — φ ≈ π (противофаза). Это важное свойство используется в фазовой диагностике и настройке колебательных систем.

Механический резонанс в акустике

В акустике механический резонанс проявляется в колебательных системах, таких как струны, мембраны, акустические резонаторы, голосовые связки и даже элементы конструкций зданий. Например:

• Музыкальные инструменты (гитары, скрипки, флейты) используют резонанс для усиления звучания. Корпус инструмента действует как резонатор, усиливая определённые частоты.
• Голос человека работает на принципе резонанса: голосовые связки возбуждают резонансные колебания в полостях рта и носа, что формирует тембр.
• Колонны, балки и стены зданий могут входить в резонанс при воздействии звуковых волн определённых частот, что учитывается при проектировании.

Акустические резонаторы

Типичный пример — резонатор Гельмгольца, состоящий из полости и шейки. Он обладает собственной резонансной частотой:

$$ f_0 = \frac{c}{2\pi} \sqrt{\frac{A}{V L_\text{эфф}}}, $$

где A — площадь шейки, V — объём полости, L_эфф — эффективная длина шейки, c — скорость звука.

Такие резонаторы применяются для фильтрации и усиления звуков в акустике, автомобильной промышленности, в наушниках, духовых инструментах.

Резонанс в инженерных приложениях

Механический резонанс может быть как полезным, так и опасным:

• В машиностроении резонанс может привести к разрушению конструкций, например, из-за совпадения частоты вращения вала с резонансной частотой системы. Это явление называют резонансной катастрофой.
• В мостостроении известен случай моста Такома-Нэрроуз (США, 1940), разрушившегося из-за ветрового возбуждения резонансных колебаний.
• В ультразвуковой технике используется резонанс пьезоэлементов для генерации и приёма звука.
• В акустической метрологии применяют резонансные явления для калибровки микрофонов и определения параметров среды.

Контроль и подавление резонанса

В технических системах резонанс, как правило, нежелателен. Для его контроля применяются следующие подходы:

• Изменение жёсткости или массы конструкции (смещение резонансной частоты),
• Добавление демпфирующих элементов (увеличение трения, уменьшение добротности),
• Установка динамических гасителей колебаний — специальных масс на пружинах, которые колеблются в противофазе с основной системой и гасят её колебания.

Резонанс в нелинейных системах

В реальных системах резонанс часто сопровождается нелинейными эффектами. При больших амплитудах возможны:

• Смещение резонансной частоты (например, в системах с геометрической нелинейностью),
• Появление гармоник и субгармоник,
• Множественные устойчивые режимы, скачки амплитуды,
• Гистерезис при изменении частоты возбуждения.

Нелинейный резонанс особенно важен в биоакустике, в акустооптике, в динамике молекул и в квантовых резонансных системах.